Выполнил: студент гр. 462

Проверил: Веркиенко Ю. В.

 

2006 г.

Содержание

 

Цель работы

Задание

1. Генерирование выборок

2. Поиск оценок для выборок

3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

7. Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову)

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Выводы

Цель работы

 

Выполнить все одиннадцать пунктов работы по заданию и сделать выводы.

 

Задание

 

На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерировать две выборки объема n

 

x1,¼,xn  (1)

y1,¼,yn  (2)

 

Для выборок (1), (2) найти оценки  Ex, Sx,  wx, wy.

Для (1) построить доверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Для (1), (2) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения  и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

Проверить гипотезы: о величине среднего (m), дисперсии (s2), о нормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову).

Проверить гипотезу о независимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.

Для уравнения (модели)  с заданными коэффициентами bi составить систему условных уравнений, считая  и найти по МНК оценки коэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона  или с равномерным шагом на отрезке [–1, 1].

Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза в точках x=-1, 0, 1.

По доверительным интервалам оценить значимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, если доверительный интервал накрывает значение, равное нулю.

При выполнении курсовой работы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборок равна 1. Уровень значимости a = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.

1. Генерирование выборок

 

На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерируем две выборки объема n = 17, где m = 3 и s2 = 1

 

x1,¼,xn  (1)

y1,¼,yn  (2)

 

Вариационные ряды:

 

 (1) (2)

 

2. Поиск оценок для выборок

 

Для найденных выборок (1), (2) находим оценки  Ex, Sx,  wx, wy.

Выборочное среднее:

 

                                   

Квадрат средне – квадратичного отклонения:

 

                     

 

Оценка центрального момента 3-го порядка:

 

                   

 

Оценка центрального момента 4-го порядка:

 

                   

 

Коэффициент эксцесса:

 

                                 

 

Коэффициент асимметрии:

 

                                     

Оценка корреляционного момента:

 

           

 

Оценка коэффициента корреляции:

 

                                     

 

Размах выборки:

 

                                 

 

3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

 

Для (1) строим доверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Считаем s2 известной.

 

Считаем s2 неизвестной.

 

 

Таким образом, при различных вариантах μmin, μmax имеют почти одинаковые значения.

 

 

Подставляем табличные значения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что

 

,

,

 

4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

 

Для (1), (2) строим доверительный интервал для коэффициента корреляции.

U = 1,96

Так как , то пусть , отсюда z = 0,693

То есть |z| ≤ 0,693.

 

Если z = –0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициента корреляции –0,6 < Rxy < 0,6.

 

5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

 

Создание ступенчатой функции, при скачке высотой 1/n.

 

 

Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральных функций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленным оценкам математического ожидания и с. к. о.

Пусть u = 0, 0.001…6, тогда

 

,

- - - - теоретическая функция распределения.

____ функция для нормального закона с оценками среднего и дисперсии.

 

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

случайный выборка доверительный интервал

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1),х(n)) на несколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

k*sigx - ширина интервалов разбиения, k - коэффициент шага разбиния. взято симметрично от среднего значения по 4 интервала

 

- - - - теоретическая функция плотности распределения.

____ эмпирическая кривая плотности распределения.

 

7. Проверка гипотезы о величине среднего (m), дисперсии (s2), о нормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову)

 

Проверка по критерию согласия  Пирсона:

По данным выборки найдем теоретические частоты , затем, сравнивая их с наблюдаемыми частотами , рассмотрим статистику  - случайная физическая величина, имеющая распределение  с k степенями свободы. Если сумма , то выборочные данные согласуются с нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

 

Определим  с  степенями свободы:

 

 

Как видно условие  выполняется.

Проверка по критерию согласия Колмогорова:

 

Условие:

 

где , где максимальное значение разности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.

 

 

 при для X, и при для Y.

 - критическое значение квантиля распределения Колмогорова.

Так как условие  – выполняется, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.

 

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

 

Чтобы из выборки х получить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).

 

Проверим гипотезу о независимости :

 

Так как  из нормального закона , то

 

 

 

Так как условие  – выполняется, то выборки независимы.

Теперь нам необходимо проверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках

 

:

 

так как F< ,то нет оснований, отвергать нулевую гипотезу.

 

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.

 

Для уравнения модели

 

 

Генерируем выборку с шагом

 

h = 1/N, где N = 100

 

Пусть даны коэффициенты регрессии:

β0 = 0; β1 = 1; β2 = 1; β3 = 0; β4 = 0; β5 = 1;

Значения матрицы плана

 

 

Сформируем элементы матрицы А вида:

 

 

 

Формирование правых частей нормальной системы

 

 

 

Где  случайная величина, сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.

 

 

Информационная матрица

 

 

Решение относительно коэффициентов регрессии.

Для нахождения вида уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии  данного уравнения.

 

 

Уравнение регрессии :

 

 

Графики уравнения регрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициенты регрессии:

 

- - - - уравнение регрессии

____ случайная выборка из нормального закона

 

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

 

Доверительные интервалы будем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии .

В случае нормальных ошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:

 

где  - остаточная сумма квадратов;  - диагональный элемент ковариационной матрицы вида

 так как слагаемых в уравнении регрессии шесть.

 

         (1)

                       (2)

                       (3)

 

Строим интервал для коэф-та регрессии:

 

 

 

Доверительный интервал , где из таблицы находим.

k = 6;

Тогда для r = [1…6] будем

брать соответствующий элемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1) (2) (3).

Нахождение доверительного интервала для  (фактор ):

-

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Доверительные интервалы для , , не накрывают значение равное нулю, следовательно, факторы , , являются значимыми, а факторы , , - незначимыми.

 

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

 

Исключив из уравнения регрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду:

 

 

 

Таким образом, из графика видно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график не изменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии

 

 при .

 

А доверительный интервал найдём из следующего двойного неравенства:

 

 

Таким образом, доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:

Выводы

 

Таким образом, в данной курсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальным законом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии и построены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оценены значимости факторов по доверительным интервалам.