Задача 1. Математическая модель

Введение

Целью курсовой работы является приобретение навыков программирования и применения их на практике для решения вычислительных задач. Приложения курсовой работы разработаны в визуальной среде Delphi на языке программирования Object Pascal.

Интегрированная среда разработки (IDE) - это среда, в которой разработчику предоставляется всё необходимое для написания, отладки, запуска и тестирования приложений. Она позволяет в кратчайшие сроки создавать действующие приложения, на ходу проектируя и видоизменяя их пользовательский интерфейс [1].

В состав IDE входит несколько элементов: редактор кода, отладчик, набор панелей инструментов, обширная библиотека компонентов, редактор изображений, инструментарий баз данных.

Среда Delphi - одна из первых систем, использующих технологию быстрой разработки приложений (Rapid Application Development - RAD) и технологию визуального конструирования (Visual Design) [1]. Технология визуального конструирования содержит готовые компоненты, из которых строится интерфейс будущей программы.

Основные особенности среды Delphi: визуальное конструирование программ, использование готовых компонентов-заготовок для будущих программ, поддержка нескольких языков программирования, возможность создания программ под разные платформы, введение множества технологий, ускоряющих и облегчающих написание программ [1].

Задачами курсовой работы является: изучить основы работы в среде Delphi; изучить основные этапы решения задач на ЭВМ; разработать математические модели решения задач; изучить методы составления алгоритмов решения задач; проанализировать результаты работы программ на ЭВМ.

Математические модели

Задача 1. Математическая модель

В задаче по аналитической геометрии необходимо создать приложение для нахождения расстояния от данной точки до ближайшей стороны заданного треугольника. Для этого нужно рассмотреть уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами (х₁, у₁) и (х₂, у₂) в общем виде [2]:

Ax + By + C=0, (1.1)

А= у₂ - у₁, (1.2)

В= х₁ - х_2, (1.3)

С= - х₁∙ (у₂ - у₁) + у₁∙ (х₂ - х₁). (1.4)

Расстояние от точки, заданной координатами (х₄, у₄), до прямой, заданной уравнением (1.1), может быть определено так [2]:

d = . (1.5)

В задаче задаются вершины треугольника (х₁, у₁), (х₂, у₂), (х₃, у₃) значит формулу (1.5) нужно применить, для нахождения расстояния к трем сторонам треугольника. А затем определить наименьшее из значений, что и будет искомым расстоянием.

Пусть стороны треугольника обозначим a,b,c. Найдем параметры уравнений сторон треугольника по формулам (1.2), (1.3), (1.4).

Для стороны а: a1=y2-y1; b1=x1-x2; c1= (-x1) ∙ (y2-y1) +y1∙ (x2-x1).

Для стороны b: a2=y3-y2; b2=x2-x3; c2= (-x2) ∙ (y3-y2) +y2∙ (x3-x2).

Для стороны c: a3=y1-y3; b1=x3-x1; c3= (-x3) ∙ (y1-y3) +y3∙ (x1-x3).

Расстояние от точки, заданной координатами (х₄, у₄), до сторон треугольника a, b, c может быть определено по формуле (1.5):

d1 = ;

d2 = ;

d3 = .

Определим систему ограничений для решения данной задачи. Если рассмотреть на формулу (1.5) нахождения расстояния от точки, заданной координатами (х₄, у₄), до прямой, заданной уравнением (1.1), то необходимым и достаточным условием существования выражения является неравенство [2]:

≠ 0. (1.6)

Таким образом, применяя формулу (1.6) для решения задачи запишем систему ограничений:

. (1.7)

По условию задачи исходными данными являются координаты вершин треугольника, поэтому систему ограничений для данной задачи дополним условием существования треугольника:

. (1.8)

Определим длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками [2]:

d= . (1.9)

Для треугольника со сторонами a,b,c формула (1.9) имеет вид:

a= ,

b= ,

c= .

Вычисленные длины сторон треугольника применим к системе ограничений (1.8). Таким образом, в задаче рассматривается две системы ограничений (1.7), (1.8) для необходимого и достаточного условия существования решения.