Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Разные способы доказательства теоремы единственности




 

Преимущество предлагаемого второго доказательства заключается в том, что оно легко может быть перенесено на случай поверхностей F{x, у, z) = 0 (и даже на случай ( n -1) -мерных поверхностей второго порядка в n-мерном пространстве).

Обозначим через C множество точек, лежащих на кривой

F(x, у) = а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а1х + 2а2у + а0 = 0 (6)

 

т. е. множество всех точек М=(х,у) комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению (6). Предположим, что множество С совпадает с множеством всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению

F(x, y) = b11x2 + 2b12xy + b22y2 + 2b1x + 2b2y + b0 = 0 (7)

 

Вспомним, что неасимптотические направления {α : β} по отношению к кривой (6) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {α : β} имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (6) и (7), будет неасимптотическим и для другой кривой.

Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направление {α : β} для кривых (6) и (7).

Одну из прямых d направления {α : β} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {α : β}, — за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параграфа следует, что уравнения (3), (6) получат в системе координат О'х'у'



вид

F′(x′, y ′) = а′22у′ 2 + а′11х′ 2 + 2а′1 x ′ + а′0 =0 (8)

F′(x′, y′) = b′22y′ 2 + b′11x′ 2 + 2b′1y′ + b′0 = 0 (9)

 

Здесь a ′22≠0b ′22≠0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению

φ′ (x′, y ′) = а′11х′ 2 + а′22у′ 2 = 0,

 

имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через C 0. Возможны следующие случаи:

1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из

f(x') = a′11x′ 2+2a′1x′+a′0= 0

f (x') = b′11x′ 2+2b′1x′+b′0= 0

противоречиво, т. е.

 

Множество C 0 пусто

 

Сногочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постоянной а'0, соответственно b ′0.

2° Множество С0 совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен нулю.

 

Множество C 0 совпадает с прямой y ′ o ′

 

3° Ни одни из случаев 10, 20 не имеет места. Тогда множество С0 состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения

a ′11 x ′ 2+2 a ′1 x ′+ a ′0= 0 (10)

 

так и уравнения

b ′11 x ′ 2+2 b ′1 x ′+ b ′0= 0 (11)


Множество C 0 состоит из одной точки А

Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некотором μ ≠ 0 имеем

b′11x′ 2+2b′1x′+b′0 = μ (a′11x′ 2+2a′1x′+a′0)

 

и, значит, полагая λ= b ′22: a ′22, имеем

F′(x′, y ′) = а′22у′ 2 + (а′11х′ 2 + 2а′1 x ′ + а′0),

F′(x′, y′) = λb′22y′ 2 + μ(b′11x′ 2 + 2b′1y′ + b′0)

 

Докажем, что λ = μ. Для этого дадим переменному х' значение x ′= x ′1, являющаяся корнем уравнения

а′11х′ 2 + 2а′1 x ′ + а′0=1

 

и найдем значение y ′, удовлетворяющее уравнению

F′(x′1, y ′) = а′22у′ 2 + 1 = 0

 

 

т. е. y ′1= ± ( - 1 : a ′22 )0,5.

 

Значит, точка (x ′1, y ′1 ) принадлежит множеству С; следовательно,

F ′(x′1, y ′1) = λ а′22у′ 2 + μ · 1= λ а′22( - 1 : a ′22)+ μ = 0

т. е. λ=μ, и F′(x′, y ′)=λF′(x′, y ′), значит, и

F (x, y )=λF(x, y ).

Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем

F′(x′, y ′)= а′22у′ 2, а′22≠0, F′(x′, y ′)= b ′22у′ 2, b ′22≠0.

 

Полагая λ = b ′22: a ′22, получим F′(x′, y ′)= F′(x′, y ′) —утверждение теоремы верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид


F′(x′, y ′) = а′22у′ 2 + a ′0=0, a ′0≠0,

F ′(x′, y ′) = b ′22у′ 2 + b ′0=0 b ′0≠0

 

— множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений

y ′=±(-( a ′0 : a ′22)0,5) или y ′=±(-( b ′0 : b ′22)0,5).

 

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

(a′0 : a′22)=( b′0 : b′22), т.е. b′22=λa′22, b′0=λa′0 при λ =( b′22: a′22).

Теорема доказана во всех случаях.

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (97)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.012 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7