Решение поставленной задачи

x₁ – количество изделий первого вида.

x₂ – количество изделий второго вида.

F(x) – целевая функция.

5x₁ + 3x₂ =150

x₁ £20

x₂ £25

x1, x2≥0

F(x) = 7x₁ +8x₂ ® max

Приведем заданную модель к каноническому виду, введя свободные переменные x3, x4, x5, превращающие неравенства в равенства. Переменные x3, x4, x5 входят в уравнение с коэффициентом единица и только один раз:

5x₁ + 3x₂+x₃ =150

x₁+x₄=20

x₂+x₅ =25

x1, x2, x3, x4, x5≥0

F(x)= 7x₁ +8x₂ +x₃ +x₄ +x₅

x_3, x_4, x₅ – базисные переменные; x_1, x₂ – свободные переменные.

Составим симплекс – таблицу, соответствующую каноническому виду:

Таблица 2 – Итерация 1

Построив первую таблицу, проверяем ее на оптимальность, то есть в последней строке таблицы ищем максимально отрицательный элемент, в нашем случае – это -8. Из этого следует, что столбец х2 становится ключевым. Далее в столбце х2 ищем ключевую строку: свободный член делим на элемент столбца х2, находящийся в этой же строке. Из полученных делений выбираем минимальное, у нас это будет 25. То есть строка, в которой получилось минимальное частное, будет являться ключевой (строка х5). А элемент, стоящий на пересечении ключевого столбца и ключевой строки будет являться ключевым элементом, в нашей задаче это будет 1.

Строим новую таблицу, следуя алгоритму, приведенному выше.

Таблица 3 – Итерация 2

Таблицу 3 проверяем на оптимальность таким же способом, что и изначальную таблицу. Находим ключевой элемент в таблице 3, и затем заново пересчитываем новую таблицу.

Таблица 4 – Итерация 3

В нашем случае таблица 4 стала окончательным решением, так как в последней строке нет отрицательных чисел, из этого следует, что мы нашли оптимальный способ решение поставленной задачи.

X ₁=15; X ₂=25; F_max=305.

Для достижения максимальной прибыли, равной 305 руб., необходимо производить 15 изделий первого вида и 25 изделий второго вида в день.

Алгоритм программы

Блок-схема симплекс-метода

Вычислительная процедура симплекс-метода является итерационным процессом. Если задача содержит несколько переменных и ограничений, то этот процесс очень громоздок. Во многие практические задачи входят десятки переменных и ограничений (иногда намного больше), и ясно, что неразумно решать эти задачи вручную. Симплекс-метод – это метод для электронно-вычислительных машин. Не случайно развитие теории линейного программирования совпало по времени с развитием электронно-вычислительных машин. Без них теория имела бы весьма узкую область приложений.