Перечень условных обозначений

Содержание

 

Перечень условных обозначений

Введение

1 Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами

2 Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

 

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 --- пустое множество;

 --- множество всех  для которых выполняется условие ;

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 --- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 --- порядок элемента  группы ;

 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 --- множество всех простых делителей порядка группы ;

 --- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- -ый коммутант группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- --холловская подгруппа группы ;

 --- силовская --подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

 --- группа всех автоморфизмов группы ;

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --- подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

 

;

 

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- центр группы ;

 --- циклическая группа порядка ;

 --- ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны.

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

 

, где .

 

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы  такая, что  нильпотентна.

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы  --- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

 --- цоколь группы .

Экспонента группы  --- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 --- класс всех групп;

 --- класс всех абелевых групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп;

 --- класс всех --групп;

 --- класс всех сверхразрешимых групп;

 --- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .

Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть  --- некоторый класс групп и  --- группа, тогда:

 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и .

Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Произведение формаций  и  состоит из всех групп , для которых .

Введение

 

Понятие -перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке -перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа  разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы -перестановочны. Согласно теореме 3.8 из группа  является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий -перестановочности некоторых ее подгрупп.

1. Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами

 

В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.

Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где  и  --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть  --- сверхразрешимая группа. Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого числа . Пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда ,  и  сверхразрешимы и каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Предположим, что  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и ,  --- подгруппа Фиттинга группы  и каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы , но  не является сверхразрешимой группой. Допустим, что  --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Если  --- максимальная подгруппа группы  такая, что  и либо , либо , то  сверхразрешима.

Предположим, что . Тогда по тождеству Дедекинда имеем

 

.

 

Так как

 

 

то каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Поскольку , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.

(2) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  сверхразрешима.

Ясно, что . Пусть  и . Так как по условию для некоторого ,

 

 

то мы имеем

 

 

где . Это показывает, что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Но поскольку  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.

(3) Группа  имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Допустим, что . Тогда ввиду (2),  --- сверхразрешимая группа и поэтому  разрешима. Следовательно,  имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Предположим теперь, что . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда по условию . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но  сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что  и пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1),  сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Пусть теперь . Так как , то каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой погруппой группы . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но  сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что  и пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1),  сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Следовательно, . Поскольку  и  абелевы группы, то группа  имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.

(4) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  и  --- такая максимальная в  подгруппа, что

 

 и .

 

Пусть  --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то  --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  --- максимальная подгруппа в  такая, что  и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как ввиду (3),  абелева, то  и . Это показывает, что . Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем

(5)  --- наибольший простой делитель порядка группы .

Предположим, что  не является наибольшим простым делителем порядка группы , и пусть  --- наибольший простой делитель . Пусть  и  --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Тогда . По лемме,  и  не сопряжены в . Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы , которые не содержат , сопряжены в , то либо  содержит , либо  содержит . Пусть, например,  и пусть  --- силовская -подгруппа группы . Предположим, что . Согласно (2),  сверхразрешима и поскольку  максимальная подгруппа группы , то по лемме  --- простое число. Значит,  содержит неединичную силовскую -подгруппу . Согласно лемме , , и поэтому . Это противоречие показывает, что . Ясно, что . Тогда . Предположим, что  и пусть  --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Ввиду (1),  сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Так как группа  сверхразрешима, то , и поэтому , что невозможно в силу (4). Значит, . Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем

 

 

и поэтому . Пусть , где . Предположим, что . Тогда , и очевидно . Это влечет . Следовательно, . Ясно, что , и поэтому . Пусть  --- максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого , мы имеем . Так как  не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что . Но поскольку , то приходим к противоречию. Следовательно, . Пусть  --- силовская -подгруппа группы  и для некоторого , . Предположим, что . Пусть  --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Согласно (1),  сверхразрешима. Это влечет , противоречие. Следовательно,