Определение количества цифровых терминалов для подключения к мультиплексору

Мультиплексор, который осуществляет асинхронное мультиплексирование пакетов от цифровых терминалов имеет один выходной порт с пропускной способностью С кбит/с. Известно, что каждый цифровой терминал порождает простейший поток пакетов с интенсивностью l пакетов в секунду, время обслуживания пакета имеет экспоненциальный закон распределения, а длина пакета составляет L бит. Считаем, что объем буферной памяти портов мультиплексора является бесконечной.

Определить количество цифровых терминалов , которые могут быть подключены к мультиплексору, чтобы выполнялись следующие условия:

условие 1: мультиплексор не должен быть перегружен, то есть коэффициент использования не должен превышать единицу ( ). Также для этого условия определить среднее время задержки пакета в мультиплексоре;

условие 2: среднее время задержки пакета в мультиплексоре (системе массового обслуживания)  не должно превышать значения  ( );

условие 3: 90% всех пакетов не должно задерживаться в коммутаторе больше заданного времени .

Для всех трех условий рассчитать среднее число пакетов в очереди выходного порта мультиплексора .

Пример решения варианта 0 (условие 1)

1. Запишем выражение для определения коэффициента использования:

,

где  - интенсивность потока пакетов от одного терминала,  - интенсивность обслуживания;  - количество терминалов, подключенных к мультиплексору.

2. Находим интенсивность обслуживания и время обслуживания пакета:

;

.

3. Находим количество цифровых терминалов, чтобы выполнялось условие , учитывая, что  пакета в секунду:

;

 терминалов.

4. Находим среднее время задержки пакетов в мультиплексоре (среднее время нахождения пакета в системе М/М/1) для случая  терминалов:

.

5. Находим среднее число пакетов в очереди выходного порта мультиплексора:

;

.

Пример решения варианта 0 (условие 2)

1. Запишем условие 2 для СМО типа М/М/1:

;

.

2. Находим количество цифровых терминалов, чтобы выполнялась условие 2 -  с:

 с;

 терминалов.

3. Находим среднее время задержки пакета в мультиплексоре (среднее время нахождения пакета в системе М/М/1) для случая  терминалов:

.

Таким образом, введенные ограничения на среднее значение задержки пакета в мультиплексоре уменьшило число поддерживаемых терминалов на один.

4. Находим среднее число пакетов в очереди выходного порта мультиплексора:

;

 пакета.

Пример решения варианта 0 (условие 3)

1. В этом случае будем считать, что задержка пакетов в коммутаторе являются случайной величиной с функцией распределения:

.

Условие, при котором 90% пакетов должны иметь задержку в коммутаторе не больше  с можно записать так:

.

2. Найдем среднее время нахождения пакета в мультиплексоре, при котором 90% пакетов будут иметь задержку не больше 0,325 с:

;

.

3. Дальше для СМО типа М/М/1:

определим максимальное значение интенсивности потока пакетов от одного цифрового терминала:

 терминала.

Таким образом, для выполнения условия 3 получается, что только 4 терминала могут быть подключены к мультиплексору.

4. Находим среднее число пакетов в очереди выходного порта мультиплексора:

;

 пакетов.