Глава 2. Расчет температурного поля.

Математическая постановка задачи.

                                    

Расчет температурного поля ограждающих конструкций с математической точки зрения приводит к необходимости решения третьей краевой задачи для уравнения Лапласа. При этом нужно иметь в виду, что ограждающие конструкции, как правило, являются, неоднородными. Отсюда следует, что функция коэффициента теплопроводности является разрывной кусочно-постоянной функцией двух переменных.

Хотя алгоритм решение задачи остается верным для неоднородных ограждающих конструкций, мы, для примера, будем рассматривать однородную ограждающую конструкцию из дерева размером . Считаем, что по «краям» стенок, где проведен срез конструкции, установилась стабилизация температуры вдоль стенок, то есть отсутствует поток тепла на границах Г₃ и Г₄.

Наружная температура считается постоянной . Внутренняя температура в помещении считается постоянной . Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения , коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения .

     (3)

 

 

где - граница области ;

 - искомая температура, ;

 - коэффициент теплопроводности, ;

 - производная по внешней нормали;

- температура среды (не зависит от времени), ; 

- коэффициент теплоотдачи поверхности ограждения, ;

- начальная температура, град.

Решение будем искать методом Зейделя

                                      (1)                                                                                                                   (3)                                                                                                                                                                                                               

 

 

Граничные условия

Г₁:

Г₂:

Г₃:

Г₄:

Метод Зейделя.

Прямоугольную декартову систему координат расположим, как показано на Рис.1.

Задачу (1) (3) будем решать конечно-разностным методом с помощью явной схемы.

Условие устойчивости явной схемы имеет вид

где , если h=0.004, то

Расчет проводится до тех пор, пока температурное поле не выйдет на стационар, т.е. когда норма разности (равномерная норма) между соседними итерациями по времени не окажется меньше заданной погрешности . В численных экспериментах полагали =0,0001.

И вместо (1) (3) получим разностные уравнения

Этап

Начальное приближение

Этап

Для последующих итераций

2.1 (j=0)

Сперва находим значение в точке (0,0)

 

Затем находи значение в точках (i,0), i=1..n-1

 

Затем находим значение в точке (n,0)

 

2.2 (j=1..n-1)

Сперва находим значение в точке (0,j)

 

 

 

Затем находи значение в точках (i,j), i=1..n-1

 

Затем находим значение в точке (n,j)

 

 

2.3 (j=n)

Сперва находим значение в точке (0,n)

 

 

 

Затем находи значение в точках (i,n), i=1..n-1

 

      

  Затем находим значение в точке (n,n)

 

Этап

Вычисляем , пробегая по всем i,j.

И проверяем , если >= e, то переходим к этапу 2 до тех пор пока <e.

  4 этап

Получили приближенное решение уравнения Лапласа методом Зейделя.

Метод Гаусса.

 

Для решения уравнения (1) (3)  нужна матрица А размерности , ( n +1)² неизвестных и ( n +1)² уравнений. Ax=b, где

Но в нашем случае , и можем использовать матрицу размерности , ( n +1) неизвестных и ( n +1) уравнений.

 

В нашем случае

С помощью метода Гаусса находим решения системы.

 

Двухсеточный метод.