Эквивалентные системы.
Рассмотрим класс систем
считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; любая система вида , отражающая функция которой совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве. Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции . Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой: Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества , имеют место соотношения
Доказательство. Продифференцируем тождество по и по . Получим тождества
из которых следует неравенство и тождества и . Лемма доказана. Теорема 2.1. Пусть есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции выполнено
Тогда, для того, чтобы в области функция совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:
где есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Доказательство. Необходимость. Пусть есть отражающая функция некоторой системы и пусть совпадает с . Положим
Тогда используя тождества и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества
из которых следует, что всякая система, для которой есть отражающая функция, может быть записана в виде . Достаточность. Пусть в системе есть такая функция, для которой решение системы однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции . Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана. Т.о. варьируя вектор-функцию мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию. У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения , где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем. Пусть известно, что системы и
принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система является периодической. Тогда если решения и систем и соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система может быть непериодической. Откуда следует Теорема 2.2. Пусть система с периодической по правой частью и система принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы и решениями двухточечной задачи для системы можно установить взаимооднозначное соответствие. Уравнения
например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией . Единственное периодическое решение первого уравнения соответствует единственному решению задачи второго уравнения.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (159)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |