Вычисление коэффициентов
12 Как было отмечено ранее граничные условия для уравнений (15)-(17), (19)-(21) являются свободными параметрами и могут быть выбраны специальным образом с учетом свойств решений этих уравнений. Выбирая, для уравнений (15), (19) граничные условия: , , для (16), (18) , и для (17), (21) , , в результате получаем:
Для вычисления интегралов в значениях коэффициентов , строим кубический сплайн Эрмита [7] для подынтегральной функции . При этом считается, что кроме значений функции на концах отрезков задаются значения производных и , которые вычислялись при помощи формул (22), (23). Тогда интегралы в формулах (31), (32) вычисляются с локальной погрешностью , и глобальная погрешность будет равняться , что и подтверждается вычислительными экспериментами. Также для сравнения были проведены расчеты уравнений (31), (32) с помощью формулы трапеций. Отметим, что коэффициенты системы (30) получаются в итоге постоянными величинами.
Исследования свойств схемы Для исследования устойчивости метода прогонки и монотонности схемы используем принцип максимума, т.е. если в системе уравнений (30) , , и , то в матрице системы уравнений (30) присутствует диагональное преобладание, матрица является монотонной и выполняется оценка [6]. Рассмотрим коэффициенты системы уравнений (30):
Отсюда следует, что схема является монотонной и метод прогонки устойчив.
Устойчивость по времени нетрудно показать с помощью спектрального признака устойчивости [5]. Перепишем уравнение (9) в следующей форме:
и решение (33) будем искать в виде: Тогда подставляя это выражение в (33) получим следующее уравнение: и следовательно,
Очевидно, что
Отсюда следует, что схема абсолютно устойчива.
Для исследования порядка аппроксимации системы (5), (6) схемой (7), (8) разложим точное решение системы по формуле Тейлора в окрестности точки , предполагая наличие непрерывных вторых производных:
Подставляя эти значения в (7), (8) и, используя, свойства и системы (5), (6) получим невязку:
Таким образом, учтя погрешность при вычислении коэффициентов (31), (32) , система (5), (6) имеет аппроксимацию .
Вычислительный эксперимент Рассматривалась система трубопроводов, состоящая из 3 отрезков и 4 узлов. Длины всех отрезков одинаковы и равны 1, диаметры каналов одинаковы. Расчеты производились приведенным выше методом. Результаты расчетов сравнивались с точным решением системы (5), (6):
где выбиралась:
1) . Начальные условия: . Граничные условия: при при
2) . Начальные условия: . Граничные условия: при при
3) . Начальные условия: . Граничные условия: при при
Таблицы погрешностей Расчеты на момент времени . 1) Для первого случая:
2) Для второго случая:
3) Для третьего случая:
Замечание 1) Погрешность по вычислялась путем, взятия разности, между общей погрешностью и погрешности по времени. Погрешностью по времени мы считаем общую погрешность при минимальном . 2) С уменьшением шага наблюдается увеличение погрешности по , это связано с зависимостью показателя диагонального преобладания от шага .
Выводы · В данной работе для решения начально-краевой задачи гиперболической системы дифференциальных уравнений была реализована схема с 4м порядком точности по пространственной переменной и 1м порядком по времени.
· Проведены исследования монотонности и устойчивости разностной схемы для линейной гиперболической системы второго порядка.
· Проведен сравнительный анализ численного и точного решения системы, подтверждающий теоретические выводы об устойчивости и точности схемы.
Литература 1. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. «Методы решения одномерных эволюционных систем». Новосибирск: Наука, 1993. 2. Воеводин А.Ф., Пономарев М.Ю. «Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем». 3. Годунов С.К. «Численное решение многомерных задач газовой динамики». Москва: Наука, 1976. 4. Меренков А.П. «Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо, нефте-, газоснабжения». Новосибирск: Наука, 1992. 5. Самарский А.А., Попов Ю.П. «Разностные схемы газовой динамики». Москва: Наука, 1975. 6. Воеводин А.Ф. «Метод факторизации для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений ». // Сиб. жур. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние.- Новосибирск, 2009.-Т. 12, №1.-с.1-15. 7. Волков Е.А. «Численные методы». Москва: Наука, 1987.
12
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (156)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |