Решение СЛАУ методом Крамера

СЛАУ из n уравнений задается матрицей коэффициентов СЛАУ A и вектором свободных членов СЛАУ B.

; ,

где a_i,j – i, j-й элемент матрицы коэффициентов СЛАУ;

b_i – i-й элемент вектора свободных членов СЛАУ.

Суть метода Крамера в следующем: сначала вычисляется определитель матрицы коэффициентов СЛАУ

,

за тем вычисляются еще n определителей

, ,…,

,

т.е. определитель  вычисляется для матрицы, полученной из матрицы коэффициентов СЛАУ путем замены j-го столбца матрицы коэффициентов СЛАУ вектором свободных членов СЛАУ.

Тогда элементы вектора решения СЛАУ x_j, j = 1, …, n определяются по формуле

.

В MS Excel существует формула =МОПРЕД(левый_верхний_элемент_исходной_матрицы: правый_нижний_элемент_исходной_матрицы) для вычисления значений определителей квадратных матриц.

Решение СЛАУ методом Крамера (методом определителей) представлено на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Решение СЛАУ методом Крамера

Строки с 1 по 22 на рис. 3.4 не показаны, потому что они полностью совпадают с соответствующими строками рис. 3.1, 3.2.

Необходимо сформировать матрицы для вычисления определителей D, D₁, D₂, D₃ в ячейках (B24:E27), (B29:E32), (B34:E37), (B39:E42), (B44:E47), соответственно. Алгоритм формирования матриц для вычисления определителей представлен в табл. 2.

Табл. № 2

Алгоритм формирования матриц для вычисления определителей

Алгоритм вычисления определителей представлен в табл. 3.

Табл. № 3

Алгоритм вычисления определителей

Возможно вычисление определителей в режиме конструктора. Для этого необходимо выделить ячейку, в которой вычисляется определитель, например, G25 и щелкнуть по пиктограмме MS Excel , за тем в группе “Математические” выбрать функцию МОПРЕД и нажать кнопку “OK”. После появления окна “Аргументы функции” выделить (при нажатой левой кнопки манипулятора мышь) элементы исходной матрицы, например, ячейки (B24:E27) и нажать кнопку “OK”.

Вектор решения СЛАУ X определяется в строке 50. Алгоритм формирования вектора решения представлен в табл. 4.

Табл. № 4

Алгоритм формирования вектора решения СЛАУ X

В результате в ячейках (C50, F50, I50, K50) сформируется вектор решения СЛАУ X (см. рис. 3.4).

Лист MS Excel, представленный на рис. 3.4 позволяет получить вектор решения для любой СЛАУ, состоящей из трех уравнений. Описанная технология решения СЛАУ легко позволяет решить задачу любой размерности (для любого количества уравнений в СЛАУ).