Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

 

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

 

 

Обнулим коэффициенты при  во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

 

 

Теперь обнулим коэффициент при  в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью:

 

 

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

 из третьего;

 из второго, подставив полученное ;

 из первого, подставив полученные  и .

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка:

 

 

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

 

 

исходная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:

 

 

Поэтому общее решение системы: x2=5x4–13x3–3; x1=5x4–8x3–1. Если положить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0.

Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка.

Условие:

х 1 – 2х 2 – х 3 + х 4 = 1

х 1 – 8х 2 – 2х 3 – 3х 4 = -2

2х 1 + 2х 2 – х 3 + 7х 4 = 7

х 1 + х 2 + 2х 3 + х 4 = 1

 

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5 , слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

1 -2 -1 1 | 1

1 -8 -2 -3 | -2

2 2 -1 7 | 7

1 1 2 1 | 1

Проведём следующие действия:

a) из второй строки вычтем первую строку (c трока 2 – строка 1);

b) из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (c трока 3–2 х строка 1)

c) из четвертой строки вычтем первую строку (c трока 4 – строка 1). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 6 1 5 | 5

0 3 3 0 | 0

Проведём следующие действия:

a) к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 + строка 2);

b) четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

0 1 1 0 | 0

Проведём следующие действия:

a) четвертую строку поставим на место второй строки;

b) третью строку поставим на место четвертой строки;

c) вторую строку поставим на место третьей строки. Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 + 6 × строка 2). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 5 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

Проведём следующие действия:

a) к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка3 + 4×строка4);

b) из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 – строка 4);

c) третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

Проведём следующие действия:

a) из второй строки вычтем третью строку (строка 2 – строка 3);

b) к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3). Получим:

1 -2 0 0 | 0

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

c) К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2 × строка 2 ). Получим:

1 0 0 0 | -2

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:

х₁ = -2

х₂ = -1

х₃ = 1

х₄ = 2