Решение задачи операторным методом

Задание

 

В заданных вариантах необходимо: для каждой цепи рассчитать токи и напряжения во время переходного процесса вызванного коммутацией - определить их аналитические выражения и построить временные графики i (t), u (t). Задачи решить классическим и операторным методами.

Задача №1

U₀=1000 В

R₁=120 Ом

R₂=50 Ом

R₃=10 Ом

L=0.4 Гн

Рис. 1.

 

Решение задачи классическим методом

 

Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима.

 

 

Составленную систему уравнений называют математической моделью динамического режима работы цепи.

Токи и напряжения до коммутации:

 

 

Принужденные составляющие токов и напряжения

 

 

Определим полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации. На основании первого закона коммутации:

 

 

Свободные составляющие токов и напряжений в первый момент после коммутации.

 

 

Составляем характеристическое уравнение и определяем показатель затухания:

 

 

Постоянная времени переходного процесса

 

 

7. Выражения для свободных токов и напряжений:

 

 

8. Определяем постоянные интегрирования:

 

 

9. Свободные токи и напряжения:

 

 

10. Полные токи и напряжения во время переходного процесса

 

 

11. Построим графики токов и напряжений во время переходного процесса:

 

График тока i1

График тока i2

 

График тока i3

График напряжения на индуктивности ul

 

Решение задачи операторным методом

 

Рис.2.

 

Представим схему замещения цепи в операторной форме (рис.2) для после коммутационного режима.

Для расчета токов и напряжения U₁в операторной форме используем метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме:

 

 

Так как напряжение на индуктивности до коммутации было равно нулю, внутренняя ЭДС  также равна нулю, в дальнейших расчетах ее не учитываем.

Из второго уравнения:

 

 

Из третьего уравнения:

 

 

Значения I₂ (р) и I₃ (р) подставим в первое уравнение:

 

 

Выражение для тока первой ветви в операторной форме:

 

 

Выражение для I₁ (р) получено в виде дроби, числитель и знаменатель которой полиномы.

 

N ( p) =150000 + 400р – полином числителя, где

М (р) = 23000р + 68p² - полином знаменателя

 

Определяем корни полинома знаменателя:

 

23000p + 68 p² = p (23000 + 68 p)

p₁=0; p₂=

 

Для перевода тока I₂ (р) из области изображений в область временных функций применяем формулу

 

 

где N (р₁) и N (р₂) - соответственно значения полиномов числителя при корнях р₁ и р₂ М' (р₁) и М' (р₂) - значения производной от полинома знаменателя соответственно при корнях р₁ и р_2. Полиномы числителя при корнях р₁ и р₂:

 

N (р₁) = 150000; N (р₂) = 14706

 

Производная от полинома знаменателя:

 

М (р) = 23000 + 136p

 

Производная от полинома знаменателя при корнях р₁ и р_2.

м' (р₁) = 23000; М' (р₂) = - 23000;

 

Ток i₁ во время переходного процесса:

 

 

Остальные токи и напряжения определим используя законы Ома и Кирхгофа

 

 

При расчете операторным методом получены те же выражения для токов и напряжения как и при расчете классическим методом, что подтверждает правильность выполненного расчета переходного процесса.

Задача №2

 

U₀=160 B

R=80 Oм

L=0.8 Гн

С=20*10^-6 Ф

Рис 3.

 

Необходимо найти закон изменения токов во всех ветвях и напряжений U_Lи U_C в зависимости от времени и построить графики.