Множества. Диаграммы Эйлера

Введение

Решение задач — практическое искусство, научиться ему можно, только постоянно практикуясь. Задача будит мысль ученика, активизирует его мыслительную деятельность Логическое мышление необходимо развивать, начиная с первых уроков информатики, внедряя в урок занимательные по форме и содержанию задания, решая нетиповые задачи, творчески подходить к учебной деятельности.

В работе представлены задачи по следующим темам:

• Системы счисления. Занимательные задачи на применение различных систем счисления.
• Комбинаторика. В данном разделе представлены основные формулы комбинаторики и задачи на их применению.
• Множества. Диаграммы Эйлера.
• Логические задачи. Задачи на отношения, задачи, решаемые с помощью таблиц.

Ко всем задачам имеются ответы и пояснения. Задачи ориентированы на учащихся 5 – 8 классов.

Данная подборка задач и теоретического материала может использоваться учителем в качестве дополнительного материала как непосредственно во время урока, так и в виде электронного ресурса во внеурочной деятельности учащихся, может служить опорой для подготовки детей к различным конкурсам и олимпиадам по информатике.

Системы счисления

1. Напишите наименьшее четырехзначное число в семеричной системе счисления.
2. Напишите наибольшее пятизначное число, в котором все цифры различны в пятеричной системе счисления.
3. Напишите наименьшее шестизначное число, в котором все цифры различны в шестеричной системе счисления.
4. Если 4 • 4 = 20, то чему равно произведение 5 • 5 в той же системе счисления?
5. В какой системе счисления:

а) 2 + 3 = 12;

б) 5 + 2 = 11;

в) 2 • 2 = 10;

г) 3 3 = 14?

1. Во сколько раз увеличится число 325₆, если приписать справа:

а) один нуль;

б) два нуля?

1. Во сколько раз уменьшится число 212000з, если отбросить:

а) один нуль;

б) три нуля?

1. Установите, в какой системе счисления выполнялось каждое из следующих действий:

а) 23 + 14 = 42;

б) 71 - 36 = 33;

в) 14 -2 = 30;

г) 55 : 4 = 13.

1. В какой системе счисления у квадрата 100 сторон? Сколько сторон в этой системе счисления у треугольника?
2. Учитель на вопрос, много ли у него в классе учеников, ответил: «В классе 100 детей, из них 25 мальчиков и 31 девочка». В какой системе счисления учитель дал ответ?

 

Ответы

1.  1000

2. 43210

3. 102345

4. 31, N=8

5. а). N=3, б). N=6, в) N=4 г) n=5

6. а) в 6 раз, б) в 36 раз

7. а) в 3 раза, б) в 27 раз

8. а) N=5 ,б) N=8 в) n=8 г) n=7

9. N=2, 11 сторон

10. N=6

 

Комбинаторика.

Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля (1623—1662) и Пьера Ферма (1601—1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов XX века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики — это правило суммы и правило произведения.

1.  Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать т способами, а элемент В — п способами, то выбор «либо А, либо В»можно сделать т + п способами.

Пример

Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

2.  Правило произведения

Если элемент А можно выбрать т. способами, а элемент В можно выбрать п способами, то пару А и В можно выбрать т * п способами.

Пример

Если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно б способами (2 • 3 = 6).

Пример

Сколькими способами можно выложить в ряд три разноцветных (красный, синий и зеленый)  шарика?

Решение 1 способ

3 • 2 • 1 = 3! = 6

Ответ: 6 способов.

Решение 2 способ (дерева возможных вариантов)

 

 

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?
3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города Б в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «платок»?
5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?
7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?
8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?
9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?
10. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?

 

Ответы

1. 6+5+4=15.

2. 3+2+4=9.

3. 5*3=15.

4. 2*4=8.

5. 8*6=48.

6. 4*7=28.

7. 3*3=9.

8. 2*2*2=8.

9. 3*4=12.

10. 5*5*5=125.

 

Множества. Диаграммы Эйлера

Леонард Эйлер(1707 – 1783) великий математик, родился и вырос в Швейцарии, работал в России и Германии. В течение жизни написал более 850 работ, в одной из которых появились круги, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

1. Каждый ученик класса изучает или английский, или испанский, или оба языка. Английский изучают 25 человек; испанский — 27 человек; и английский и испанский — 18 человек. Сколько учеников в классе?
2. Из 40 учащихся класса 32 выписывают газету, 21 — журнал, 15 учащихся — и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?
3. В классе 35 учеников. 20 человек посещают мате­матический кружок, 11 — биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекаются математикой?
4. Среди чисел первой тысячи найдите количество чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5.
5. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?

Ответы

1. 34 чел.

2. 2 уч

3. 6 чел

4. 533

5. 70 чел