Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями
1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1 не имеет корней? Решение: преобразуем заданное уравнение: 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1; 15·10 х + n· 10х + 1 = n + 20; 10 х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 х = . Уравнение не будет иметь решений при ≤ 0, поскольку 10 х всегда положительно. Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5. Ответ: .
2. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg2 (1 + х2) + (3а – 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не имеет решений. Решение: обозначим lg(1 + х2) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z2 + (3а – 2) · z + а2 = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2 – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2. Ответ: (0,4; 2). 3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение. Решение: преобразуем заданное уравнение: cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7; sin2х - asinx + a – 4 = 0; (sinх – 2) · = 0. Решение уравнения (sinх – 2) · = 0 дает: (sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству. sinх - = 0; х = (-1)n arcsin + πn, n Z при ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6. Ответ: 6.
4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х2 - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1). Решение: корни заданного уравнения равны: х1 = (1+ ) х2 = , при этом а ≤ . По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3, - 1 < < 1 > > - 3. Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 < < 3. Неравенство - 3 < выполняется при всех а ≤ , неравенство < 3 – при - 2 < а ≤ . Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; . Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0. Ответ: 0.
5. При каких значениях параметра а число корней уравнения 2 - х = 0 равно а? Решение: построим эскиз графика функции, у = 2 - х при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х2 - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный – 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола у = х2 - 8х + 7 с минимумом умин равным - 9 при х мин = 4, и корнями х1 = 1 и х2 = 7;
сплошными линиями изображена часть параболы у = 2 – 8х + (1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы х2 - 8х + 7 при 1 < х < 7. (Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у). Проводя горизонтали у = а, а N, получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:
Таким образом, а = k при а = 7. Ответ: 7.
6. Указать значение параметра а, при котором уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 4 = 0 имеет три различных корня. Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля. Корни заданного уравнения равны: х = Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 > , имеем: (2а – 1) = (2а – 1)2 = 17 – 4а 4а2 – 4а +1 = 17 – 4а а = 2. Ответ: 2.
7. Указать целое значение параметра p, при котором уравнение cosx – 2sinx = + имеет решение. Решение: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 р ≤ 2; объединяя допустимые значения параметра р, имеем: 0 ≤ р ≤ 2. При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2 х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса). При р = 1 исходное уравнение принимает вид: cosx-2sinx = +1. Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет = (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при этом sinx = sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , что меньше +1. Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет. При р = 2 исходное уравнение принимает вид . Максимальное значение разности составляет при х = arctg(- ) (при этом sinx = , cosx = ). Поскольку > +1, то уравнение = будет иметь решение. Ответ: 2.
8. Определить число натуральных n, при которых уравнение не имеет решения. Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.
Уравнение х2 – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + n(n-10) < 0 n2 -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8. В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6. Ответ: 6.
9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (0 < х < ) имеет решение. Решение: по условию 1 > sinx > 0 1 < < + , 1 > cosx > 0 1 < < + , Следовательно, 2 < а < + . Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем: = а2 = а2 = а2. Введем переменную z = . Тогда исходное уравнение примет вид: z2 + 2z – а2 = 0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его дискриминант D = 1 + а2положителен при любом а. Учитывая, что 2 < а < + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3. Ответ: 3. Заключение
Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Уравнения с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями » и в какой-то мере получили новые. По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы. Используемая литература.
1. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г. 2. Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г. 3. В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г. 4. В.В.Ткачук «Математика – абитуриенту», 1994г. 5. Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г. 6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г. 7. В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г. 8. «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г. 9. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г. 10. А.П. Карп «Даю уроки математики…», 1992 г. 11. В.В. Ткачук «Математика – абитуриенту», 1996 г.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (221)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |