Философские проблемы математики

Содержание

1. Общие методические рекомендации………………………………………4

2. Философские проблемы математики……………………………………...5

3. Философские проблемы естественных наук…………………………….12

3.1. Философские проблемы физики…………………………………….12

3.2. Философские проблемы астрономии и космологии……………….28

3.3. Философские проблемы химии……………………………………...34

3.4. Философские проблемы географии…………………………………41

3.5. Философские проблемы геологии…………………………………..46

3.6. Философские проблемы биологии и экологии……………………..50

4. Философские проблемы техники и технических наук………………….61

4.1. Философские проблемы техники………………………………….61

4.2. Философские проблемы информатики……………………………68

5. Литература…………………………………………………………………75

Общие методические рекомендации

Дисциплина «История и философия науки» состоит из трёх частей: 1) «История науки»; 2) «Общие проблемы философии науки»; 3) «Современные философские проблемы областей научного знания». Экзаменационный билет включает три вопроса, соответствующие трём частям данного курса. Первые две части являются общими для аспирантов всех специальностей. Третья часть состоит из четырёх разделов: 1) философские проблемы математики; 2) философские проблемы естественных наук; 3) философские проблемы технических наук; 4) философские проблемы социально-гуманитарных наук. Каждый аспирант или соискатель должен освоить один из разделов третьей части, соответствующий области его научных исследований. Настоящее пособие содержит учебный материал и методические рекомендации для освоения философских проблем математических, естественных и технических наук. Раздел «Философские проблемы естественных наук» включает в себя вопросы по философским проблемам физики, астрономии и космологии, химии, географии, геологии, биологии и экологии. Раздел «Философские проблемы техники и технических наук» включает вопросы по философским проблемам техники и информатики. Пример: аспирант, специализирующийся в области геоэкологии должен освоить философские проблемы геологии или экологии, в зависимости от темы диссертационного исследования.

В данном пособии сформулированы конкретные вопросы, которые войдут в состав экзаменационных билетов. По каждому вопросу предлагается структура ответа, даются определения важнейших понятий, формулируются общие положения, на которые необходимо ориентироваться в ответе на данный вопрос. Приведённый материал недостаточен для полного ответа, но даёт основу для самостоятельного освоения вопроса с использованием рекомендуемой литературы, а также с привлечением личного опыта научной работы. Список рекомендуемой литературы по каждому разделу приведён в конце пособия.

Философские проблемы математики

Основные подходы к определению предмета математики

Непосредственный предмет математики – это изучение систем математических объектов. Сами эти объекты, их свойства и отношения определяются математикой. Но проблема происхождения математических объектов и их соотношения с объективной реальностью выходит за пределы математики, разрешаясь, в том числе, средствами философии. В данном вопросе следует раскрыть основные философские подходы к определению природы математических объектов, а, значит, и предмета математики.

Проблема вызвана тем, что математические объекты не существуют в объективной реальности. Они являются результатом работы человеческого мышления и в чистом виде существуют только в сознании человека. Такая специфичность объектов математики дала повод для идеалистического истолкования этой науки. В ответе на этот вопрос следует охарактеризовать различные подходы к определению природы математики: эмпиризм, априоризм, формализм.

С точки зрения диалектического материализма любая наука, в том числе математика, является отражением действительности. Задача науки – познавать, т.е. отражать те или иные объекты действительности, их взаимосвязи и взаимоотношения. Математические объекты, несмотря на их специфичность, также являются отражением определённой стороны действительности – количественных отношений материальных объектов и процессов. Математические объекты появляются в результате абстрагирования и идеализации. В ответе необходимо дать определение этих мыслительных операций, привести примеры идеализированных математических объектов.

Идеализированные объекты создаются во многих науках, облегчая познание реальности. Но в других науках эти объекты сохраняют сходство с материальными объектами. А в математике идеализация настолько сильно преобразует объекты, что их подобие объективной реальности становится минимальным.

Не все математические понятия и теории являются отражением объективной реальности. Математика также конструирует системы отношений, не существующих в материальном мире. Но главная цель математики состоит в отображении реальных количественных отношений действительности, выделяемых с помощью абстрагирования и идеализации. Этим объясняется и практическая значимость математики.

Место математики в системе наук. Структура математического знания

Математика занимает особое место в системе наук. Выделяя форму и абстрагируясь от содержания, математика не различает объекты природы и общества. Поэтому она не относится к естественным, общественным или техническим наукам. В тоже время, математика изучает формы и количественные отношения, одинаково свойственные природе, обществу и человеческому мышлению. Поэтому она становится универсальным языком науки и формулирует широкоприменимые методы научного познания. В ответе необходимо раскрыть взаимосвязи математики и философии, математики и логики. 

Структура математики сформировалась под влиянием как внутренних, так и внешних факторов. Потребности других наук и практики, а также возрастающий поток информации привели к разделению теоретической и прикладной математики. Одним из внутренних факторов дифференциации теоретической математики стало применение аксиоматического метода, что привело к возникновению четырёх типов математических теорий: 1) неасксиоматизированные содержательные теории. 2) содержательные аксиоматические теории. 3) полуформальные аксиоматические теории 4) формальные аксиоматические теории. В данном вопросе следует охарактеризовать вышеназванные разновидности теорий.

Разнообразие форм и количественных отношений, изучаемых математикой, приводит к дифференциации единого математического знания, к выделению относительно самостоятельных разделов и дисциплин, решающих собственные задачи. В тоже время за этим разнообразием сохраняется единство математики. Основанием этого единства является, во-первых, единство материального мира, его количественных и качественных закономерностей, а во-вторых, единство предмета математики, её средств и методов. Т.о. в математике, как и в других науках, наблюдается единство процессов дифференциации и интеграции.   

Особенности методов математического познания

Важную роль в построении математических теорий играет аксиоматический метод. В ответе на данный вопрос необходимо раскрыть структуру аксиоматических теорий, сущность дедуктивной логики, отличия формализованной и неформализованной логики. Необходимо показать отличия аксиоматического метода математики от гипотетико-дедуктивного метода естественных наук.

Задача аксиоматических и формальных методов – обеспечение строгости математического доказательства. Но существуют и ограничения в их применении, пределы формализации. Следует показать эти пределы на примере теорем Гёделя.

Важными методами развития математических теорий являются абстрагирование и конкретизация. В теоретической математике общей тенденцией является движение от конкретного к абстрактному. Процесс последовательного обобщения приводит к образованию всё более абстрактных понятий и теорий, в которые старые понятия и теории входят в качестве частных случаев. В прикладной математике, наоборот, познание идёт от абстрактного к конкретному, к поиску всё новых приложений и интерпретаций формальных теорий, применительно к возникающим потребностям других наук и практики.

Несмотря на общее стремление к строгости доказательств, в математике остаётся место и интуиции. Особенно важную роль интуиция играет в решении нестандартных задач. Условиями интуиции являются профессионализм, опыт, глубокие знания. Но сам механизм интуитивного решения случаен, иррационален, т.к. связан с бессознательной частью психики.

Основные закономерности развития математики

В развитии математики проявляются те же закономерности, что и в развитии других наук. Наука как одна из форм общественного сознания является отражением общественного бытия. Это значит, что главной причиной развития науки является развитие материальной жизни общества. В математике выделяются несколько уровней. Особенно тесную связь с материальной жизнью общества всегда имел нижний уровень – практическая математика, которая в XIX веке превратилась в прикладную математику. Ещё одним внешним фактором развития математики, помимо практики, стали потребности других наук.

Наука как форма общественного сознания обладает относительной самостоятельностью в своём развитии. Она имеет собственную логику развития, которая лишь в общих чертах отражает логику развития материальной жизни. Математика по сравнению с другими науками обладает ещё большей самостоятельностью. Это объясняется спецификой предмета математики. Если другие науки непосредственно изучают материальные объекты и процессы, то математика изучает системы математических объектов, ставших результатом абстрагирования и идеализации. Познание таких объектов происходит относительно обособленно от познания материальных объектов и от практики. Поэтому важную роль в развитии математики играют внутренние факторы. Это касается, прежде всего, высшего уровня – теоретической математики. На этом уровне математика решает задачи, напрямую не связанные с практикой и возникшие внутри самой математики. Упорядочиваются накопленные знания, устанавливаются связи между отдельными результатами, обобщаются понятия и теории, совершенствуются методы, преодолеваются возникающие противоречия, парадоксы.

В ответе на данный вопрос следует привести конкретные примеры влияния внешних и внутренних факторов на развитие математики в разные эпохи. Необходимо отметить и другие закономерности в развитии математики: диалектику количественных и качественных изменений, единство процессов дифференциации и интеграции.

Философский анализ возникновения и исторического развития математики

В истории математики выделяют четыре периода. 1) до VI в. до н.э. – период зарождения математики. 2) VI до н.э. – XVI вв. – период элементарной математики, или математики постоянных величин. 3) XVII – XVIII вв. – период математики переменных величин. 4) XIX – XX вв. – становление современной математики.

Отличительной чертой первого периода был прикладной, эмпирический характер математических знаний. Решения многих задач находились эмпирически, а их изложение носило характер предписаний.

Второй период истории математики начинается в VI в. до н.э., когда в Древней Греции началось её становление как теоретической науки. Знаний накопилось много, потребовалось их систематизировать. Главным шагом к становлению математики как теоретической науки стало применение аксиоматического метода. В ответе на данный вопрос далее следует кратко охарактеризовать основные достижения математики античного периода и средневековья.

В третий период математика становится наукой не только о величинах, но и об их изменении. Главными в развитии математики становятся внешние факторы – потребности механики, гидравлики, баллистики, навигации, картографии. Под их влиянием в математику проникает идея движения. Главной задачей становится раскрытие взаимосвязей между изменяющимися величинами. Для этого разрабатывается дифференциальное и интегральное исчисление. Математика создала аппарат для описания многих физических процессов, постепенно расширяя свои приложения. Решающий вклад в становлении новой математики сыграли Декарт, Ньютон, Лейбниц.

В четвёртый период происходит существенное расширение предмета математики. Главную роль в развитии приобретают внутренние факторы. Основная закономерность развития – это обобщение существовавших понятий и теорий, дальнейшая формализация, возрастание абстрактности математического знания. В предмет математики включаются количественные отношения, которые конструируются математиками, но не существуют в объективной реальности.

Философия и проблема обоснования математики

В XIX веке с появлением в математике всё более абстрактных понятий и теорий остро встал вопрос об их обосновании. Стало ясно, что их проверка в естествознании и на практике затруднена, или невозможна. Обоснование математики приняло форму обоснования непротиворечивости математических теорий. Начался критический пересмотр теорий: от системы аксиом, лежащих в их основе, до правил доказательств и конечных выводов. Первым шагом стала попытка обоснования математики с помощью теории множеств. Георг Кантор попытался перевести все математические теории на язык теории множеств (все термины и предложения). Для большинства теорий это удалось. Но в самой теории множеств обнаружились логические противоречия, поставившие под сомнение её как основание математики.

Следующим подходом к обоснованию математики стал логицизм – сведение математики к логике (Рассел, Уайтхед, Фреге). Логицизм ограничивал идеализацию и запрещал введение объектов, приводящих к парадоксам в теории множеств. Но таким образом отбрасывались целые разделы математики, сужался предмет математики.

Ещё один подход к обоснованию математики – формализм (Давид Гильберт). Предлагалось формализовать все содержательные математические теории (выделить их форму) и свести обоснование теорий к доказательству непротиворечивости формы. Недостаток этого подхода в том, что оказалось невозможным полностью формализовать содержательные теории. Курт Гёдель доказал теоремы о невозможности полной формализации математики.

Другой подход к обоснованию математики – интуиционизм – вводит критерий интуитивной ясности для оценки математических суждений (Брауэр, Вейль, Гейтинг). В рамках этого подхода ограничивалась идеализация, исключались объекты, требующие более сильной идеализации (например, актуально бесконечное множество). Это сужало предмет математики.

В настоящее время проблема обоснования математики остаётся открытой. Большинство учёных настроено скептически: «Если математику нельзя обосновать в самой математике, то её нельзя обосновать вообще».

Диалектико-материалистическая философия провозглашает принцип конкретности истины: любая истина остаётся таковой только в конкретных условиях. Различия подходов к обоснованию математики вытекают из различия принимаемых ими абстракций и идеализаций. Каждый из подходов справедлив в тех рамках, в которых применимы его исходные абстракции. Выходя за эти рамки теория приходит к противоречиям. Но парадоксы не опровергают теорию, а лишь указывают на её пределы. Математика в целом – это многогранное, живое, постоянно развивающееся знание, которое невозможно раз и навсегда свести к единственному основанию.

Философский анализ проблемы математизации науки

До XIX века практическая применимость любых математических теорий казалась нормой. Но в XIX в. стали конструироваться всё более абстрактные теории, обнаруживалась относительная автономность математики. Математические объекты создавались на первый взгляд произвольно, в свободном творчестве. Такие объекты воспринимались как плод воображения, игры ума, не имеющие материальных аналогов. Удивительным было то, что многие из этих объектов позднее получали эмпирическую интерпретацию. Например, так было с неевклидовыми геометриями в ОТО.

В других случаях математические теории, созданные на одном эмпирическом материале, неожиданно получали применение в совершенно другой области. Специалисты называют «непостижимой эффективностью математики» её огромные эвристические возможности. С точки зрения философии эта эффективность является ещё одним подтверждением принципа материального единства мира и принципа детерминизма. За многообразием явлений, за кажущейся хаотичностью скрывается единство мира и его закономерная обусловленность. Разные по природе явления подчиняются сходным количественным закономерностям. Содержательно разные системы имеют сходную количественную упорядоченность, оказываются изоморфными. Математические теории фиксируют это сходство, и чем более абстрактными они становятся, тем шире могут применяться. Математическое творчество, на первый взгляд произвольное, на самом деле опирается на исходные положения и правила, ставшие прямыми абстракциями от материальной действительности. Т.о. опираясь на знание действительного, математическое мышление прогнозирует возможное.

В ХХ в. математика сыграла важную роль в становлении неклассического естествознания, в формировании релятивистской и квантовой механики. Велика её роль в современных исследованиях по проблеме единой теории поля и теории струн. Математическая «красота» создаваемых теорий является одним из критериев их истинности.

Не все математические конструкции получают эмпирическую интерпретацию. Во многих случаях математика предлагает несколько одинаково допустимых моделей, из которых естествознание должно выбрать единственную модель, соответствующую объективной реальности. Так, например, происходит с выбором космологической модели Вселенной.

Не только естественные и технические науки, но и социальные науки изучают количественные отношения своих объектов. Поэтому математика является универсальным языком науки. И поэтому математизация науки – одна из важнейших закономерностей развития научного знания. В ответе на данный вопрос следует раскрыть этапы математизации науки, преимущества математического моделирования и компьютерного эксперимента.