Функция полезности. Бюджетное ограничение.     Формулировка задачи потребительского выбора .

Будем считать, что потребитель располагает доходом Q, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов) Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определённое количество благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора.

В некоторых задачах выделяют один продукт, а вторым считают все остальные. Поэтому сначала рассмотрим модель с двумя видами продуктов. Потребительский набор – это вектор ( x ₁ , x ₂ ), координата x ₁ которого равна количеству единиц первого продукта, а координата x ₂ равна количеству единиц второго продукта.

Выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые два набора может сказать, что-либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор А=(а₁,а₂) предпочтительнее набора B =( b ₁ , b ₂ ), а набор B =( b ₁ , b ₂ ) предпочтительнее набора С=(с₁,с₂), то набор А=(а₁,а₂) предпочтительнее набора С=(с₁,с₂).

На множестве потребительских наборов ( x ₁ , x ₂ ) определена функция u ( x ₁ , x ₂ ) (называемая функцией полезности потребителя), значение u ( x ₁ , x ₂ ) которой на потребительском наборе ( x ₁ , x ₂ )равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку u ( x ₁ , x ₂ ) набора ( x ₁ , x ₂ ) принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребительского индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор ( x ₁ , x ₂ ). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то u (А)> u (В).

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведёт к росту потребительской оценки, т.е. если x > x , то u ( x , x ₂ )> u ( x , x ₂ );

если x > x , то u ( x ₁ , x )> u ( x ₁ , x ).

Иначе говоря, u ( x ₁ , x ₂ )= u >0 , u ( x ₁ , x ₂ )= u >0.

 Первые частные производные u  и u  называются предельными                               полезностями первого и второго продуктов соответственно.

2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объём его потребления растёт (закон убывания предельной полезности). Из свойства второй производной следует, что u ( x ₁ , x ₂ )<0, u ( x ₁ , x ₂ )<0.

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растёт количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Если блага могут замещать друг друга в потреблении, свойство не выполняется. u ( x ₁ , x ₂ )= u ₁₂ >0, u ( x ₁ , x ₂ )= u ₂₁ >0.

Линия, соединяющая потребительские наборы  ( x ₁ , x ₂ ), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей не пересекаются и не касаются. Чем выше и правее расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребностей она соответствует. Условия 1-3 означают, что линия безразличия убывает и является выпуклой вниз.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х , х ), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничениеозначает, что денежные расходы на продуктыне могут превышать денежного дохода, т.е.

                                             p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ ≤ Q,  где

 p₁ и p₂ – рыночные цены,

 Q – доход потребителя, который он готов потратить на приобретение     первого и второго продуктов.

Величины p ₁ , p ₂ и Q заданы.

Задача потребительского выбора имеет вид:

u ( x ₁ , x ₂ )→ max

   при ограничении         p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ ≤ Q

   и при условии                     x ₁ ≥0, x ₂ ≥0.

Допустимое множество (т.е. множество наборов продуктов, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии всё более высокого уровня полезности до тех пор, пока эти линии ещё имеют общие точки с допустимым множеством (Рис.1).

Рис.1.

1.1. Решение задачи потребительского выбора и его свойства.

Набор (х , х ), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя.

Рассмотрим некоторые свойства задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи (х , х ) сохраняется при любом монотонном (т.е. сохраняющем порядок значении) преобразовании функции полезности u ( x ₁ , x ₂ ). Поскольку значение u (х , х ), было максимальным на всём допустимом множестве, оно остаётся таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остаётся неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение её в положительную степень, логарифмирование.

Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз λ . (λ>0)

Это равнозначно умножению на положительное число λ обеих частей бюджетного ограничения p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ ≤ Q, что даёт неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход Q не входят в функцию полезности, задача остаётся той же, что и первоначально.

Если на каком-то потребительском наборе ( x ₁ , x ₂ ) бюджетное ограничение p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ ≤ Q будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х , х ), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е.

                                  p ₁ х + p ₂ х = Q.

Графически это означает, что решение (х , х ) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которая проходит через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратиться на один продукт:                                           (0, ) и ( ,0).

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (х , х ) этих двух задач одно и то же):

u ( x ₁ , x ₂ )→ max

                  при условии       p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ = Q .

Для решения этой задачи применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа

                     L(x₁,x_2, λ )= u(x₁,x₂)+ λ (p₁x₁+p₂x₂-Q),

 находим её частные производные по переменным x ₁ , x ₂ и λ, которые приравниваем к нулю:

                                       L = u +λ p₁=0,

                                         L = u  +λ p₂ =0,

L =p₁x₁+p₂x₂-Q =0.

Исключив из полученной системы неизвестную λ, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x ₁ , и x ₂ :

                                       = ,

p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ = Q .

Решение (х , х ) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х , х ) в левую часть равенства:

= ,

получим, что в точке (х , х ) отношение  предельных полезностей u (х , х ) и u (х , х ) продуктов равно отношению рыночных цен p ₁ и p ₂ на эти продукты:

= .                                         (5.1)

В связи с тем, что отношение равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х , х ), из (5.1) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен  на продукты. Приведённый результат играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (х , х ) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности  u ( x ₁ , x ₂ ) с бюджетной прямой p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ = Q . Это определяется тем, что отношение =-  показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение  -   представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, то в этой точке происходит касание данных двух линий.