Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях.

Основные понятия и определения.

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x:

где y – зависимая переменная (результативный признак);

   x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия: y = a + bx + e . Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

· полиномы разных степеней y = a + b ₁ x + b ₂ x ² + b ₃ x ³ + e ;

· равносторонняя гипербола .

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

· степенная y = a × x^b × e ;

· показательная y = a × b^x × e;

· экспоненциальная y = e ^{a + b × x} × e .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических  минимальна, т.е.

.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r _xy для линейной регрессии (-1 £ r_xy £1):

и индекс корреляции  ρ _xy – для линейной регрессии (0 £ ρ _xy £1):

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:  Допустимый предел значений   – не более 8-10%.

Средний коэффициент эластичности  показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где  - общая сумма квадратов отклонений;

    - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

    - остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации R ²:  

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H ₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F _факт  и критического (табличного) F _табл значений F-критерия Фишера. F _факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных x.

F _табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a. Уровень значимости a – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F _табл < F _факт, то H ₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F _табл > F _факт, то H ₀ – гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, надежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H ₀  о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Если t _табл < t _фак, то H ₀  отклоняется, т.е. a, b и r _xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t _табл > t _фак, гипотеза H ₀  не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b или r _xy.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку D для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение y _p определяется путем подстановки в уравнение регрессии  соответствующего (прогнозного) x _p. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза  где , и строится доверительный интервал прогноза:

  где