Задачи со вступительных экзаменов в вузы

Фестиваль исследовательских

 и творческих работ учащихся

«ПОРТФОЛИО»

Учебный год

 

 

Задачи на делимость

 

 

Автор:

 Полищук Ксения Вячеславовна,

10-Б класс, МОУ СОШ № 266

 

Научный руководитель:

Демина Антонина Васильевна,

 учитель математики

МОУ СОШ № 266

 

Снежногорск

2006/2007

 

 

Содержание:

 

1. Введение.

 

2. Основная часть

2.1. Анализ задач из школьных учебников, заданий ЕГЭ, конкурсных заданий со вступительных экзаменов в ВУЗы по математике.

2.2. Методы решения задач на делимость

а) Разложение на множители (слагаемые)

б) Исключение целой части числа

в) Равноостаточные классы

г) Применение теоремы Безу

д) Четность и нечетность чисел

е) Квадрат натурального числа

ж) Бином Ньютона

з) Малая теорема Ферма

и) Последняя цифра числа.

 

3. Заключение.

 

4. Список литературы.

 

5. Приложения.

 

 

Цель:

Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формированию определенной культуры работы над задачей.

 

Задачи:

1. Исследовать значимость задач на делимость в школьном курсе математики и для довузовской подготовки.

2. Провести анализ различных способов решения задач на делимость.

3. Подготовиться к единому государственному экзамену по математике.

4. Пропагандировать необходимость изучения данной темы в школьном курсе математики.

 

 

Аннотация

Данная работа посвящена изучению методов решения задач на делимость различного уровня сложности. Задачи классифицированы по методам их решения, каждый метод изложен в отдельной главе. Суть метода поясняется на примере конкретных упражнений, дается теоретическое обоснование метода, подобраны упражнения различного уровня сложности.

Разработка данной темы позволяет традиционные задачи решать нестандартными и оригинальными способами.

Эту работу можно использовать в качестве элективного курса по математике, а также при подготовке к олимпиадам по математике и при подготовке к вступительным экзаменам в ВУЗы.

 

 

« Математика похожа на  многогранный

кристалл, каждая из граней которого несет

свои возможности подлинного

серьезного познания».

(П. Александров)

 

При подготовке к математической олимпиаде мне было предложено самостоятельно поискать задачи на делимость, но как я ни старалась, ни в одном учебнике такой темы не нашла. Я точно знала, что такие задачи есть, т.к. и на факультативных занятиях и на уроках мы иногда решали задачи, связанные с делимостью чисел. Когда же я спросила у учителя, в каком из учебников можно найти этот раздел, то узнала, что такие задачи, как бусинки рассыпаны по всем учебникам и в дополнительной литературе, и что моя задача эти бусинки нанизать на одну ниточку и получить бусы. Я просмотрела учебники математики и алгебры с 6 по 11 классы и выбрала из них задачи данной тематики. С помощью учителя провела анализ заданий со вступительных экзаменов в Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Санкт-Петербургскую академию аэрокосмического приборостроения, Мурманский государственный технический университет, а  также вариантов тестов ЕГЭ по математике. Таким образом, я нашла много задач на делимость. Я поняла, что эта тема актуальна для меня, поэтому решила в этом учебном году изучить ее подробно.

Вопросами делимости чисел люди интересовались уже очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики есть еще много неясного.

Некоторые признаки делимости натуральных чисел нам известны уже с 6 класса, например, признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10.

Мы знаем теоремы:

1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.

4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.

Основываясь на известных нам признаках делимости и теоремах 1-4, можно сформулировать и признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15 и другие. В дополнительной литературе я отыскала признаки делимости на 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37. Но для решения очень многих задач на делимость этого оказалось недостаточно. Просматривая учебники математики разных авторов, я собрала достаточно большую коллекцию интересующих меня задач.

 

Задачи 6 класса

1. Найти натуральное наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает остаток 1 и, кроме того, делится нацело на 7.

2. Сумма двух чисел 177. При делении большего из них на меньшее в частном получится 3 и в остатке 9. Найти эти числа.

 

Задачи 7 класса

1. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

а) 3³+4³+5³

б) 3¹³+10¹³+18¹³

в) 21⁴+34⁴+46⁴

г) 15⁵+26⁵+39⁵

2. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц.  Если от этого числа отнять число, но в обратном порядке, то получится 36. Найти число.

3. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц.  Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 132. Найти число.

4. Доказать, что при любом целом натуральном n разность (7n+1)²-(2n-4)² делится на 15.

5. Доказать, что если сумма трех последовательных натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24.

6. Доказать, что если сумма четырех натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение число четное.

7. Доказать, что при любом целом n   (7n-2)²-(2n-7)² делится на 5 и 9.

 

Задачи  8 класса

1.При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получится 2, а в остатке 16. Найти это число.

2. При каких целых n значение дроби является целым числом:

а) (5n²+2n+3)/n  

б) ((n-3)²)/n

в) 3n/(n+2)

г) 7n/(n-4)

3. Какой цифрой оканчивается сумма 54³⁵+28²¹ – ?

4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x²-y²=69.

5. Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11.

6. Если между цифрами двузначного числа х вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

7. Доказать, что число 333⁵⁵⁵ + 555³³³ делится на 37.

8. Доказать, что число 11¹¹ + 12 ¹² +13 ¹³ делится на 10.

9. Какой цифрой оканчивается число 1982 ¹⁹⁸²?

10. Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех чисел от 1 до 100?

11. Доказать, что число 10 ¹⁵ + 10 ¹⁷ -74 делится на 9.

12. Доказать, что число п ³ + 11 п делится на 6 при любом натуральном п.

13. Доказать, что число  п ³+3п ²+5п+3 делится на 3 при любом натуральном п.

14. Доказать, что при любом целом п число п ⁵ - п делится на 30.

15. Доказать, что при любом целом п число п ⁵ - 5п ³ + 4п делится на 120.

16. Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

17. Доказать, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.

18. Доказать, что если х и у - целые числа такие, что число 3х + 8у делится на 17, то число

35х + 65у также делится на 17.

19. Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом целого числа.

20. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.

21. Доказать, что ни при каком целом п число п ² + 5п + 16 не делится на 169.

22. Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на З.

 23. Доказать, что ни одно из чисел вида n³ - 3, где п -натуральное число, не делится на 7.

 24. Доказать, что если р - простое число, большее трех, то число р ² - 1 делится на 24.     

25. Найти все простые числа п такие, что п ² + 8 – простое число.

26. Доказать, что если р - простое число и р - не меньше 5, то остаток от деления числа р² на 12 равен 1.

27. Доказать, что если п - натуральное число и п> 1, то п ⁴ +4 - составное число.

28. Найти целые числа хи у, удовлетворяющие уравнению х +у = ху .

Задачи 9  класса

1. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

2. Доказать, что при любом натуральном п число 3п + 2 не является квадратом целого числа.

3. Доказать, что:

1) число 10⁷⁰-361 делится на 27;

2) число 10⁸⁰ - 298 делится на 99;

3) число 91⁵⁰-19 ⁷⁵ делится на 18;

4) число (75*94)²⁶+(39*56)²⁵ делится на 19.

4. Доказать, что натуральное число делится на 9, если сумма цифр числа не меняется при умножении этого числа на 5.

5. Пусть т, п - натуральные числа, и пусть число т -1 делится на 3 ⁿ. Доказать, что число т³ - 1 делится на 3 ⁿ⁺¹.

6. Доказать, что не существует целых чисел х, у, для которых        справедливо равенство

 х² – у ² = 1982.

7.  Пусть т и п - взаимно простые натуральные числа. Доказать, что не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению                 тх+пу=тп.

8. Доказать, что число 7п ² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном п.

9. Доказать, что не существует целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению

                                15х ² = 9+ 7у ².

10. Доказать, что если т, п, k - натуральные числа и число т + п + k делится на 6, то число

 т ³ + п ³ + k ³  также делится на 6.

11. Доказать, что если целые числа т и п не делятся на 5, то число т ⁴ – п ⁴ делится на 5.

12. Доказать, что для любых целых т и п число т ⁶п ² – п ⁶т ²       делится на 30.

13. Доказать, что дробь (п+1)⁴+ п ⁴-1, где п - натуральное

                                               2

число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.

14. Доказать, что ни при каких натуральных т и п не может быть верным равенство:

1) т (т+ 1)=п (п+2);

2) т ²+ (т+ 1)² = п ⁴+ (п+ 1)⁴.

15. Доказать, что ни при каком натуральном п сумма п ³ + 6п ² + 15п+15 не делится на п+2.

16. Найти все натуральные п, при которых число п ⁴ + п ² + 1 является простым.

17. Найти все пары целых чисел х, у, удовлетворяющих уравнению

                    х ²= у ²+2у+ 13.

18. Найти четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 5040.

 

 

Задачи со вступительных экзаменов в вузы

1. Найти натуральное наименьшее число, кратное 7 и при делении на 8 дающее в остатке 2.

2. Найти остаток от деления (n²+1) на 3, если (n+2) делится на 3.

3. Натуральное число n при делении на 5 дает в остатке 4. Найти остаток от деления (n+2)² на

4. При делении на 6 натуральные числа m и n дают остатки 2 и 3, каков остаток от деления на 6 числа (mn-2)?

5. Натуральное число n при делении на 12 дает в остатке 4. Найти остаток от деления n на 3.

6. При каком наименьшем натуральном k число 18k является кубом натурального числа.  

7. При каком наименьшем натуральном k число 24k³ является квадратом натурального числа?

8. При каком наименьшем натуральном p число 42^p будет кратно 162?

9. Найти натуральные числа p и q, если НОД(648, 6^p*15^q)=108.

10. Сколько существует натуральных чисел п, для которых число 3п + 5 является двузначным числом?

11. Сколько существует натуральных двузначных чисел пт, для которых произведение цифр

п  т не превосходит 4?

12. Для скольких натуральных чисел п число 3п/(п + 5) лежит в промежутке [1;3/2]?

13. При каких натуральных значениях п число (п ²+6)/( п +2) является натуральным числом?

14. При каких натуральных значениях п число  4 – 4³ + 4ⁿ является квадратом натурального числа?

 15. Для каких целых отрицательных чисел  п число n²+ 7n +12является простым числом?

16. Для скольких целых чисел п число (16 -  n² ) / 5 является натуральным числом?

17. Для скольких целых чисел п число (9 -  n² ) / (3 +n² ) является натуральным числом?

18. Сколько существует целых чисел, для которых число 2 + 4 п + n² является натуральным числом, которое меньше 14?

19. Для скольких целых значений выражение (2п + 1)/ (п -2) является целым числом?

20. Для каких целых значений параметра число (n² -  п + 1) / ( п +2) является целым?

21. Найти все пары натуральных чисел (п, m) являющихся решениями уравнения 2 ⁿ – 2 ^m=56.

22. Найти все натуральных числа Х, для которых наименьшее общее кратное чисел Х и Х+1 равно 3Х.

23. Найдите все пары натуральных чисел (п, m), таких что n + m =77, а их наименьшее общее кратное равно 110.

24. Сколько существует натуральных двузначных чисел п, для которых дробь п / ( п + 10) является несократимой?

25. Сколько существует двузначных четных чисел, которые при делении на 9 дают в

остатке 2?

26. Сколько существует двузначных четных чисел, которые не делятся на 5 без остатка?

27. Найдите все натуральных двузначные числа, которые делятся на число 5 без остатка, а при делении на число 17 дают остаток 1?

28. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, которые при делении на число 5 дают остаток 4?

29. Остаток от деления натурального числа Х на 19 равен 17. Найдите остаток от деления числа 2Х на 19.

30. Найдите остаток от деления числа N + 4M на 4, если натуральные числа N и M при делении на число 4 дают остатки 1 и 3 соответственно.

 

 

Во множестве отобранных задач на делимость было очень трудно разобраться, но затем удалось разбить их на группы, каждая из которых имела какой-то определенный метод решения. А некоторые задачи можно было решить и не одним способом.

Во многих из этих задач есть такой элемент, который делает их непохожими на известные задачи, и возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода.