Б) Критерий асимметрии и эксцесса.

Содержание

Введение………………………………………………………..2

Задание №1…………………………………………………….4

Задание №2…………………………………………………….5

Задание №3…………………………………………………….9

Задание №4…………………………………………………….13

Задание №5…………………………………………………….14

Задание №6…………………………………………………….18

Задание №7…………………………………………………….20

Задание №8…………………………………………………….23

Задание №9…………………………………………………….27

Задание №10…………………………………………………...28

Список использованной литературы………………………41

Введение

Теорией вероятностей называется математическая наука, изу­чающая закономерности в случайных явлениях. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдае­мые в случайных явлениях.

При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые при­нято называть случайными. Для них характерна большая по срав­нению с другими степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократ­ном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы слу­чайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы усло­вия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при его повторе­нии результаты полностью и в точности совпадали. Случайные от­клонения неизбежно сопутствуют каждому закономерному явле­нию. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше, науч­ный прогноз — все точнее. Это — классическая схема так называе­мых «точных наук» — от условий опыта к его однозначному ре­зультату.

Однако для решения ряда задач такая схема оказывается плохо приспособленной. Это — те задачи, где интересующий нас резуль­тат опыта существенно зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. В этих задачах многочисленные второстепенные факторы так тесно связаны с результатом опыта, что ничтожное, на первый взгляд, их изменение может сыграть решающую роль, обусловить «успех» или «неуспех» опыта. В таких случаях классическая схема точных наук — детерминистская — оказывается непригодной.

Методы теории вероятностей не отменяют и не упраздняют случайности, непредсказуемости исхода отдельного опыта, но да­ют возможность предсказать, с каким-то приближением, средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Чем большее количество однородных случайных явлений фигурирует в задаче, тем отчетливее выявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осущест­влять научный прогноз.

Характерным для современного этапа развития науки является все более широкое применение вероятностных методов во всех ее областях. Это связано с двумя причинами. Во-первых, изучение явлений окружающего мира, становясь более глубоким, требует выявления не только основных закономерностей, но и возможных случайных отклонений от них. Во-вторых, наука все больше вне­дряется в такие области практики, где наличие и большое влияние именно случайности не подлежит сомнению, а иногда даже явля­ется определяющим.

В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятност­ные методы. В одних науках в силу специфики предмета и истори­ческих условий эти методы находят применение раньше, в дру­гих — позднее.

Знакомство с методами теории вероятностей необходимо сего­дня каждому грамотному менеджеру, и не только ему. На сегодняшний день, нет об­ласти знаний, где не могли бы сказать свое слово эти методы ис­следования.

 

 

Задание 1

   Налоговая инспекцияиз общего числа N малых предприятий (x_1, x₂,…, x_N)_, имеющих учетные номера 1,2,3,…N, для проверки отбирает случайным образом K предприятий, номера которых затем располагает в возрастающем порядке: x₁ < x₂<,…,< x_k . Вычислить вероятность того, что под номером j в ранжированном ряду будет предприятие с учетным номером L.

Дано: N=60; K=17; J=15; L=52

Найти: Р(А)-?

Решение:

Обозначим событием А то, что под номером 15 в ранжированном ряду окажется предприятие с учетным номером 52.

Так как из общего числа исходов нас интересует число благоприятствующих исходов и поскольку налоговая служба отбирает предприятия для проверки случайным образом, то отборы равновозможны. Поэтому для определения вероятности воспользуемся классическим способом. Воспользуемся элементами комбинаторного анализа и формулой гипергеометрического распределения.

Число благоприятствующих исходов:

Способов выбрать К предприятий из N предприятий:

Ответ:

вероятность того, что в ранжированном ряду под номером 15 будет предприятие с учетным номером 52 равна: Р(А)=0,324049.

 

 

Задание 2

   На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2 h . На плоскость случайным образом (на удачу) бросается тонкий стержень (игла) длиной 2 l (l<h).Появление центра на отрезке 2 h в любой его точке равновозможно, как и появление любого значения угла φ между стержнем и прямой на интервале (0,π).

Попадание центра стержня на отрезок 2 h и угловая ориентация φ стержня – события независимые. Требуется при заданных исходных данных 2 h и 2l:

1.Определить вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую.

2.Методом статистических испытаний определить эмпирическое значение числа π при заданных h,l и числе испытаний n ≥100. Описать опыт и представить таблицу результатов испытаний.

Дано: 2h=80; 2l=62

Решение:

Обозначим:

Событие А – игла пересекла какую-либо прямую

Введем обозначение Х – расстояние от середины иглы до ближайшей прямой

Угол φ – угол, составленный иглой с параллелью

1.Определим вероятность Р(А)

Положение иглы полностью определяется заданием Х и φ, причем Х принимает значение от 0 до h, возможные значения φ от 0 до π. Другими словами середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами h и φ.

 

Х

Таким образом данный прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения центра иглы. Площадь фигуры G=h*π

Найдем теперь такую фигуру g, каждая точка которой благоприятствует появлению события А, т.е.каждая точка которой может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель при условии, что

 X<l*sin φ  т.е.если середина попадет в любую из точек заштрихованной фигуры на рисунке.

Таким образом заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:

g=  

P(A)=

P(A)=0.4936

Значит, вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую равна 0.4936.

2.Методом статистических испытаний определим эмпирическое значение числа . Я буду проводить опыт с бросанием иглы 200 раз. Если игла пересечет какую-либо прямую(событие А) то вероятность данного опыта – 1, если не пересечет то вероятность данного опыта равна – 0.

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0

 

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
А	0	1	1	0	0	0	1	0	1	0

 

№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
А	0	0	0	1	1	0	1	1	1	1

 

№	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
А	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0

 

№	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
А	1	1	0	0	0	0	0	1	1	0

 

№	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
А	0	1	1	0	1	1	1	0	1	1

 

№	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
А	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1

 

№	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
А	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0

 

№	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
А	1	1	1	0	0	1	0	0	1	1

 

№	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
А	1	0	0	1	0	0	1	1	1	1

 

№	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110
А	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0

 

№	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
А	1	0	1	0	1	1	0	1	1	0

 

№	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130
А	0	0	1	1	1	0	1	1	1	0

 

№	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
А	0	1	1	0	0	1	0	1	1	1

 

№	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150
А	0	0	1	1	0	1	0	1	1	1

 

№	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
А	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1

 

№	161	162	163	164	165	166	167	168	169	170
А	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1

 

№	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
А	1	1	1	0	0	0	0	1	0	1

 

№	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190
А	0	1	0	1	0	0	1	0	0	0

 

№	191	192	193	194	195	196	197	198	199	200
А	0	0	1	1	1	1	0	1	0	0

 

Событие А наступило в 99 испытаниях. Статистическим способом найдем вероятность наступления события А.

Р(А)=

Р(А)= откуда

откуда

Эмпирическое значение числа  

 

Ответ:

1. Вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую:

2. Методом статистических испытаний эмпирическое значение числа π при заданных h, l и числе испытаний n ≥100:

 

Задание 3

Структурная схема системы доведения информации об экономических угрозах до руководства некоторой фирмы имеет вид:

     

9

8

2

5

3

7

1

 

4

 

   Отказы элементов при передаче информации - события независимые. Известны вероятности передачи информации об угрозе i-м элементом, Pi (i=1,…,8).

Найти вероятность доведения информации о поступившей экономической угрозе до руководства фирмы.

Дано: Р1=Р2=Р8=0.69; Р3=Р4=Р6=0.84; Р5=Р7=P9=0.79

Найти: Р(А)-?

Решение:

Обозначим событие А – исправность системы

событие А1 – безотказная работа элемента 1

событие А2 – безотказная работа элемента 2

событие А3 – безотказная работа элемента 3

событие А4 – безотказная работа элемента 4

событие А5 – безотказная работа элемента 5

событие А6 – безотказная работа элемента 6

событие А7 – безотказная работа элемента 7

событие А8 – безотказная работа элемента 8

гипотеза H1 – элементы 5 и 6 работают

гипотеза Н2 – элементы 5 и 6 не работают

гипотеза Н3 – элемент 5 работает, а 6 не работает

гипотеза Н4 – элемент 5 не работает, а 6 работает

Рассмотрим систему и бозначим ее за систему В

 

 

Используем метод разложения систему по базисному элементу, основанное на теореме о полной вероятности.

1) Пусть имеет место гипотеза Н1 и 5 и 6 элементы работают, тогда

7

2

1

                     

 

Найдем вероятность исправности  данной системы:

Р(Н1)=Р(А5)*Р(А6)=0.6636

Р(B/H1)=P[(A1+A3)*(A7+A4)*A2]*P(H1)=(P1+P3-P1*P3)*P2*(P7+P4-P7*P4)*P(H1)=(0.69+0.84-0.5796)*0.69*(0.79+0.84-0.6636)*0.6636= =0.655776*0.6413034=0.4205

2) Пусть имеет место гипотеза Н2 и 5 и 6 элемент не работают, тогда

7

2

1

                     

 

Найдем вероятность исправности данной системы:

Р(H2)=(1-P5)*(1-P6)=0.21*0.16=0.0336

P(B/H2)=P[(P1*P2*P7)+(P3*P4)]*P(H1)=(0.69*0.69*0.79+0.84*0.84-0.69*0.69*0.79*0.84*0.84)*0.0336=0.2743

3) Пусть имеет место гипотеза Н3 и тогда 5 элемент работает и 6 элемент не работает, тогда

 

7

2

1

                     

 

Найдем вероятность исправности данной системы:

P(H3)=P5*(1-P6)=0.16*0.79=0.1264

P(B/H3)=P[(P1+P3)*(P2*P7+P4)]*P(H3)=(0.69+0.84-0.5796)*(0.5451+0.84-0.4579)*0.1264=0.9504*0.9272*0.1264=0.1113

4) Пусть имеет место гипотеза Н4 и 5 элемент не работает и 6 работает, тогда

7

2

1

                     

 

P(H4)=(1-P5)*P6=0.21*0.84=0.1344

P(B/H4)=P[(P1*P2+P3)*(P7*P4)]*P(H4)=(0.69*0.84+0.69-0.69*0.84*0.69)* *(0.79+0.69)*0.1344=(0.5796+0.69-0.39924)*(0.79+0.69-0.5451)*0.1344= 0.87036*0.9349*0.1344=0.1094

Полная группа событий:

P(B)=P(B/H1)+P(B/H2)+P(B/H3)+P(B/H4)=0.4205+0.02743+0.1113+0.1094=

=0.66863

Теперь рассмотрим систему В вместе с 8 и 9 элементом:

 

 

А-исправность системы

Р(А)=Р[(P8*P9)+(P *P9)]=P8*P9+ P *P9 - P8*P9* P *P9=0.5451+0.5282-0.29=0.7833

Ответ:

Вероятность доведения информации о поступившей экономической угрозе до руководства фирмы равна 0.7833

 

Задание 4

Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероят­ностью P₁; от второй — с вероятностью P₂. Однако есть возмож­ность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оце­нивается для первой фирмы вероятностью P₃; для второй — P₄. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор по­лучит прибыль?

Дано: Р₁=0,95; Р₂=0,90; Р₃=0,09; Р₄=0,01

Найти: Р(А)-?

Решение:

Обозначим Р(А) – вероятность того, что инвестор получит прибыль.Всего 3 возможных варианта получения прибыли:

1.получение прибыли и с первого предприятия и со второго(Р1*Р2)

2.получения прибыли с первого, а со второго нет(Р1*Р4)

3.получения прибыли со второго, а с первого нет(Р2*Р3)

Используем теорему сложения вероятностей для трех совместных событий:

P(A)=P[(P1*P3)+(P2*P3)+(P1*P4)]=P1*P2+P2*P3+P1*P4-P1*P2*P2*P3-P1*P2*P1*P4-P1*P4*P2*P3+P1*P2*P2*P3*P1*P4=0.855+0.081+0.0095-0.0693-0.0082-0.0008+0.00065=0.867895

P(A)=0.8697

Ответ:

Вероятность того, что инвестор, получит прибыль равна 0,8679

 

Задание 5

Случайная величина  – годовой доход наугад взятого налогоплательщика. Плотность распределения вероятностей случайной величины  задана в виде:

 

где a – неизвестный параметр распределения, а величины b и c являются константами, значения которых заданы в таблице вариантов задания.

Требуется :

1) Определить значения параметра «а» и построить график функции f (х).

2) Найти функцию распределения F (х) и построить её график.

3) Определить математическое ожидание m _x, дисперсию D _x и среднее квадратическое отклонение  годового дохода .

4) Вычислить значения третьего µ ₃ и четвертого µ ₄ центральных моментов, и определить коэффициенты ассиметрии А s и эксцесса Ex .

5) Определить размер годового дохода Х₁ в тыс. у.е., не ниже которого с вероятностью Р окажется годовой доход случайного выбранного налогоплательщика.

Дано:

с=0,7

b=0,30

P=0,55

Найти: 1) a-? f(x)-?

2) F(x)-?

3) m_x,-?; D_x -?; -?

4) µ ₃ -? ; µ ₄-?

5) Х₁-?    

Решение:

1)Для определения параметра «а» воспользуемся свойством плотности распределения:

Возьмём нижний предел равным «с»:

отсюда «а» равен

 

а =

Подставим значения и получим а:

а= =

Построим график плотности распределения при вычисленном параметре а:

 

 

2) Для определения функции распределения воспользуемся формулой:

 

Нижним пределом также возьмем «с»:

 

x   с

F(x) =

 

F(x) =	0,2158· (0.7 -x-4,3), при x≥0,7
	0, при x<0,7

 

 

 

3) Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой:

 

 

4) Центральный момент k-ого порядка вычисляется по формуле:

Начальный момент k-ого порядка определяется равенством:

Выразим центральные моменты 3 и 4 порядка через начальные моменты:

μ₃=ν₃ - 3ν₁ν₂+ 2ν₁³

μ4= ν₄ - 4ν₁ν₃ + 6ν₁²ν₂ - 3ν₁⁴

Вычислим начальный моменты 2,3,4-го порядков:

 

Коэффициенты ассиметрии и эксцесса расчитываются по формулам:

 

Подставляя известные значения получаем:

5) Для определения вероятности воспользуемся формулой для расчета вероятности попадания СВ в интервал:

P(x1≤X)=1-P(X<x1)=1-F(x1)

Подставляя известные значения получаем:

Ответ:

1) значения параметра «а» равно 0.9277.

2) функция распределения имеет вид:

F(x) =	0,2158· (0.7 -x-4,3), при x≥0,7
	0, при x<0,7

3) математическое ожидание M_x=0,9122, дисперсия Д_x=0,0839, среднее квадратическое отклонение годового дохода равно σ =0,2897.

4) значения третьего и четвертого центральных моментов равно ₃=0,127 и ₄=1,8859 соответственно, коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны A_S=5,222 и E_C=264,7405.

5) размер годового дохода Х₁ в тыс. у.е., не ниже которого с вероятностью Р окажется годовой доход случайного выбранного налогоплательщика равен 0,8045.

 

Задание 6

Производится «n» независимых испытаний, в каждом из которых события А может появиться с вероятностью Р.

Требуется:

1)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях равно k - раз.

2)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях более m - раз.

3)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях не менее k ₁ - раз, но не более k ₂ - раз.

4)Вычислить среднее число появления события А при n – испытаниях и среднее квадратическое отклонение числа появлений события А.

5)Определить с какой вероятностью должно появляться события А в каждом из «n» - опытов при условии, что вероятность не появления события А ни в одном из «n» - опытов равна Р₀.

Дано:

n=10; k=4; P=0.6; m=2; k₁=3; k₂=6; P₀=0.3; q=0.4

Найти:

1) Р(m=3)-?

2) Р(m>1)-?

3) Р(2≤m≤5)-?

4) m_x-?; -?

5) Р₁ (А)-?

Решение:

Поскольку испытания независимы и р=const, то используем схему Бернулли. Обозначим Х число испытаний в которых событие А наступило. Х={1,2,..10}

X принадлежит биномиальному закону распределения.

1) Для расчёта вероятности наступления события k раз применяем формулу Бернулли

2) Для того, чтобы найти вероятность того, что событие наступит более m раз воспользуемся формулой ) Р(m>1)=1 – [Р(0)+Р(1)+Р(2)]

3) Для нахождения вероятности наступления события не менее m₁, но не более чем m₂ раз (m₁≤m≤m₂) воспользуемся формулой

4) Так как Х принадлежит биномиальному распределению, то

5)

Ответ:

1) Р(k=3)=0.1114

2) Р(x>2)=0.88694

3) Р(3≤x≤6)=0.6045

4) m_x=6; 2.4 =1.54

5) p=0.1204

 

 

Задание 7

Дискретная двумерная случайная величина (X , Y) описывается законом распределения вероятностей, заданного рядом распределения вероятностей, представленным в таблице:

 

Xi Yj	X1	X2
Y1	P11	P12
Y2	P21	P22
Y3	P31	P32

 

Требуется:

1. Определить частные законы распределения компонент X и Y случайного вектора соответственно.

2. Определить условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y приняла значение y_j.

3. Определить условный закон распределения случайной величины Y при условии, что X приняла значение x_{i .}

4. Вычислить математические ожидания и дисперсии компонент X и Y .

Дано: P₁₁=0,15; P₁₂=0,10

P₂₁=0,25; P₂₂=0,15

P₃₁=0,15; P₃₂=0,20

Y_j=Y₂

X_j=X₁

 

Решение:

 

1)Определим закон распределения компонент случайного вектора X, для этого воспользуемся формулой: , где  представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина X примет значение , таким образом получим ряд распределения случайной величины X.

В результате получим закон распределения:

 

X	X1	X2
P(X)	0,55	0,45

 

 

Произведем проверку, для этого сложим вероятности:

P(X) = 0,55+0,45=1;

Следовательно закон распределения Х вычислен правильно.

 

Определим закон распределения компонент случайного вектора Y, для этого воспользуемся формулой:

Получим следующий закон распределения:

Y	Y1	Y2	Y3
P(Y)	0,25	0,40	0,35

 

Проверка:

P(Y) =0,25+0,40+0,35=1

 

2) Для того чтобы определить условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что величина Y приняла значение Y_j, воспользуемся формулой:

 

где n = 1,2, а P(Y_j) - вероятность того, что Y примет значение Y_j,определенное из закона распределения компоненты Y. Подставив данные в формулу, получаем:

 

Проверка: 0,625+0,375=1;

Мы определили условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что величина Y приняла значение Y_2.

 

3) Ан