Глава 3. Задачи на разрезание

  С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку – это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

Сделаем небольшую классификацию таких задач [15]. Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды:

 * Дробление – требуется разрезать данную фигуру:

· на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, - конгруэнтных частей (фигур);

· на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»);

· определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Возможны и другие вариации условий разрезания, так как фантазия человека не имеет ограничений.

 * Квадрирование – разрезание фигуры на возможно меньшее число частей, из которых затем можно сложить квадрат.

 * Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру (не квадрат).

В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.

  Учитывая большое общее количество задач на разрезание, мы в этой работе будем рассматривать задачи на клетчатой бумаге на дробление и задачи, связанные с шахматной доской. А остальные постараемся изучить при дальнейшем исследовании по этой теме.

   Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведённых далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Но смысл разрезания предполагает ещё и выход из плоскости и переворачивание фигуры любой её стороной из двух существующих.

В качестве примеров рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.

Задача 1. Можно ли разрезать квадрат 6´6 на полоски 1´4 ?

Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1. Любая полоска 1´4, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (6 · 6) : 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8! Значит разрезание

   Рис. 1    невозможно.

Вместо раскраски в два цвета можно было использовать раскраску в четыре цвета, изображённую на рисунке  2 (каждый цвет помечен своим номером: цвет 1, цвет 2, цвет 3 и цвет 4).                                               Рис. 2                 

Тогда каждая полоска 1´4 будет содержать ровно по одной клетке каждого цвета. Значит, если бы удалось разрезать квадрат на полоски, то клеток всех цветов было бы поровну. Но клеток цветов 1 и 3 – по 9, цвета 2 – 10, а цвета 4 – 8 штук.

Теперь вы сможете самостоятельно решить задачи 2 и 3.

Задача 2. Можно ли прямоугольник 8´9 разрезать на полоски 1´6 ?

Задача 3. Можно ли сложить прямоугольник из нарисованных на рис. 3 фигурок? (Каждая фигурка должна использоваться ровно один раз!)

Задача 4. [8] На шахматной доске стоят 4 коня (рис. 4) Требуется разделить доску на 4 одинаковые по форме части, на каждой из которых стоял бы в точности один конь

                                                                        Рис. 3

   Рис. 4       Задача 5.[3] В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму». У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9´12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1´8. Иван царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1´4, чтобы получился прямоугольник 8´12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10´10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

 Задача 6. [1] На прямоугольном участке земли находятся 4 колодца, изображённые на рис. 5 точками. Разбейте этот участок на 4 части, одинаковые по величине и форме, так, чтобы колодцы на каждом участке занимали одно и то же положение.                                                                      Рис. 5

 Задача 7. [15] Найти все целые положительные числа n таким образом, чтобы каждый треугольник можно было разрезать на n треугольников, подобных между собой.

Решение. Начертим разносторонний треугольник. Прежде всего покажем, как любой треугольник можно разрезать на n = k² равных (следовательно, подобных) треугольников, т.е. на число n, равное квадрату целого числа. Разделим каждую сторону треугольника на k равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные его сторонам. Тогда число малых треугольников равно 1+ 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²

 Рис. 6. k = 5,  n = 25                Рис. 7                          Рис. 8

Теперь покажем, что каждый треугольник разрезается на любое число n ≥ 4 подобных между собой треугольников.

     В самом деле, оставим на рис. 6 малые треугольники только в нижней полосе (трапеции), а все остальные объединим в один (рис. 7).

   Столь же легко показать, что число таких частей может быть сделано любым нечётным n ≥ 7 : верхний из четырёх треугольников разбит на 2k (k ≥ 2) частей, и ещё имеется три нижних, так что общее число частей равно n = 2k + 3, где k ≥ 2 (рис. 8).

   Итак, любой треугольник можно разрезать на любое число n подобных между собой треугольников, за исключением n = 2, 3, 5. Можно доказать, что для этих значений n требуемое разрезание невозможно.

  Вот именно с таких занимательных задач начинается уже серьёзная математика с исследованиями, доказательствами и построением небольшого раздела математической теории под названием «делящиеся фигуры на плоскости».

Задача 8. [16] «Парадокс шахматной доски»

Шахматная доска разрезается наискосок, как это изображено на левой половине рисунка 9, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это показано на правой половине рисунка. Первоначальная площадь               Рис. 9

равнялась 64 кв. ед, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?