Решение систем линейных алгебраических уравнений в среде МС

 

Для многих численных методов решение системы линейных уравнений является одним из этапов. Как известно, систему линейных уравнений можно представить в матричной форме

AX = B ,

где А – матрица коэффициентов системы, В - вектор правых частей уравнений.

Для решения системы линейных уравнений можно использовать метод обратной матрицы. Этот метод, являющийся достаточно громоздким, в МС реализуется одной строкой. В соответствии со свойством обратной матрицы A^-1A=I, где I-единичная матрица, получаем, что столбец неизвестных

X := A ^-1 B .

Выполнив вычисление по этой формуле, далее в документе нужно вывести результат на экран и выполнить проверку (правая часть должна совпасть с вектором b).

Пример. Решение системы трех уравнений

вычисляем:

Для решения системы уравнений можно использовать встроенную функцию lsolve ( A , B ). Матрицы A и B определяются так же, а затем находится вектор неизвестных .

 

 

Универсальный характер векторов и матриц в среде МС. В МС реализован принцип вложенности структур данных различного типа. Это означает, что элементами вектора или матрицы могут быть другие векторы или матрицы, или функции. Функция, в свою очередь, может иметь матричную структуру, и так далее.

Это позволяет экономично описывать исходные данные, планировать вычисления и группировать результаты. Вложенность данных используется также при разработке программных блоков в среде МС.

При выводе на экран таких векторов или матриц МС показывает не численные значения, а структуру элемента (в фигурных скобках), например

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

 

Выполнить вычисления в задачах №1, №2, №3, №4 (по вариантам).

 

 

ЗАДАЧА 1. Выполнить действия по обработке заданных векторов и матриц с выводом на экран всех промежуточных результатов.

 

1) ra3=(1.2,-2.3,6.05); cz4=(-0.4,3.1,8.2);

      │ 2 3 -1│     │-1 0 5│

  A = │ 9 5 2│ ; B = │35 1 3│ ;

      │-1 0 7│     │-2 -2 4│

- вычислить скалярное произведение ra3 и cz4;

- вычислить модуль вектора a=2*ra3-3*cz4;

- вычислить векторное произведение векторов 2*cz4 и -3*ra3;

- вычислить определитель матрицы 2*A-3B

- вычислить произведение матриц A^(-1) и B^2

- вычислить новую матрицу A1 путем возведения элементов

исходной матрицы A в куб;

- вычислить след матрицы (А+5B)^(-1);

 

2) kq3=(3.6,-2.3,9.45); uv4=(-5.1,5.8,-8.4);

       │ 2 4 7 │          │ 2 3 –5 │

      T = │ 5 1 –4 │;     S = │41 -4 3 │;

       │ 9 3 –3 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить векторное произведение kq3 и uv4;

- вычислить модуль вектора a=6*kq3-2.3*uv4;

- вычислить скалярное произведение векторов kq3 и uv4;

- транспонировать матрицу 5*T-3*S

- вычислить произведение матриц T^2 и S^4

- вычислить новую матрицу S1 путем деления всех элементов ис-

ходной матрицы S на минимальный;

- вычислить след матрицы T^(-1);

 

3) vx3=(6.6,-3.1,8.36); ca4=(-6.3,8.5,-3.3);

       │ 9 5 –2 │          │ 4 3 –3 │

   G = │13 -3 –3 │;     H = │51 11 4 │;

       │ 6 7 4 │          │ 5 -2 14 │

- вычислить модуль векторного произведения 4*vx3 и -ca4;

- вычислить максимальный элемент вектора b=3.4*vx3+2.3*ca4;

- вычислить скалярное произведение векторов b и vx3;

- вычислить определитель матрицы 3*G-4*H^3

- вычислить произведение матриц (G-H)^3 и (2G+H)^(-1)

- получить новую матрицу G1 путем вычисления функции Бесселя

J3 от модулей элементов исходной матрицы G;

- вычислить след матрицы (G+H)^4;

 

4) dy3=(4.6,-2.7,2.48); se4=(-8.1,5.4,-9.3);

       │ 19 -4 2 │          │ 3 -1 5 │

   W = │ 25 1 4 │;     D = │11 -4 –8 │;

       │ 9 4 –3 │          │ 2 5 13 │

- упорядочить элементы вектора c=6*dy3-4.3*se4;

- вычислить скалярное произведение (dy3+c) и se4;

- вычислить модуль векторного произведения векторов c и dy3;

- вычислить определитель матрицы -4*W+3*D;

- выполнить объединение матриц W^2 и D^3;

- получить матрицу D1 путем вычисления функции ch

от элементов матрицы W/9;

- вычислить след матрицы (W-D)^7;

 

5) qn3=(4.3,-7.3,7.21); um4=(-4.1,7.2,-7.9);

       │ 31 5 –7 │          │ 6 5 5 │

   R = │ -5 4 4 │;     G = │61 -4 –3 │;

       │ 1 3 –1 │          │ 4 -3 2 │

- вычислить модуль вектора d=2.9*qn3-5.3*um4;

- вычислить векторное произведение d и um4;

- вычислить скалярное произведение векторов qn3 и um4;

- упорядочить элементы второй строки матрицы 3*R-7*G;

- вычислить определитель произведения матриц R^4 и G^2;

- вычислить матрицу G1, обратную матрице G;

- вычислить след матрицы R1, элементы которой получены

вычислением квадратного корня из модулей соответствующих

элементов матрицы R;

 

6) fa3=(7.6,3.2,8.02); hi4=(-1.4,5.6,-6.4);

       │ 24 7 8 │          │ 1 4 –6 │

   V = │ 15 14 –9 │;     B = │54 -3 5 │;

          │ 4 3 –1 │          │ 5 -2 7 │

- вычислить минимальный элемент вектора w=3.6*fa3-1.3*hi4;

- вычислить векторное произведение hi4 и 2*w и его модуль;

- вычислить скалярное произведение векторов w и fa3;

- вычислить определитель матрицы V^2-3*B

- вычислить произведение матриц V^(-1) и B^2

- вычислить новую матрицу V1 путем вычисления функции sh от

элементов матрицы V/5;

- вычислить след матрицы (V+B)^4;

 

7) wa3=(3.6,-2.1,9.45); ek4=(-5.1,5.8,-8.4);

       │ 11 4 7 │          │ 2 1 –5 │

   P = │ 5 1 –4 │;     R = │31 -4 3 │;

       │ 15 3 –3 │          │ 3 -3 1 │

- упорядочить элементы векторного произведения wa3 и ek4;

- вычислить модуль вектора s=6*wa3-2.3*ek4;

- вычислить скалярное произведение векторов s и wa3;

- вычислить определитель и след матрицы 5*R-3*P;

- вычислить минимальный элемент объединения матриц R^2 и P^4;

- вычислить новую матрицу R1 путем деления всех элементов ис-

ходной матрицы R на ее определитель;

- упорядочить элементы 1-го столбца матрицы P^5;

 

8) bt3=(4.6,-3.1,4.45); up4=(-5.1,6.8,-7.8);

       │ 3 5 17 │          │ 8 -3 5 │

   A = │ 11 6 –9 │;     K = │27 4 –3 │;

       │ 4 7 –3 │          │ 3 13 8 │

- вычислить модуль вектора g=6*bt3-2.3*up4;

- вычислить векторное произведение bt3 и g;

- вычислить скалярное произведение векторов g и (bt3-up4);

- вычислить определитель матрицы 0.5*A-0.3*K

 - вычислить произведение матриц A^3 и K^(-1)

- вычислить новую матрицу K1 путем возведения в куб матрицы,

обратной матрице K;

- вычислить след матрицы (4*А-K)^6;

 

9) jx3=(1.6,-2.4,3.35); rd4=(-4.4,5.5,-6.7);

       │ 14 8 –7 │          │ 7 -1 –5 │

   Q = │ 5 3 1 │;     Z = │36 4 3 │;

       │ -1 13 3 │          │ 3 -9 13 │

- вычислить минимальный элемент вектора h=6*jx3-2.3*rd4;

- вычислить модуль векторного произведения h и rd4;

- вычислить скалярное произведение векторов (h-jx3) и rd4;

- вычислить определитель матрицы 3.5*Q-2.3*Z

- вычислить след произведения матриц (2Q+Z^4)(Q-4Z)

- вычислить новую матрицу Q1 путем умножения всех элементов ис-

ходной матрицы Q на ее определитель;

- транспонировать матрицу Z^(-1);

 

10) es3=(3.6,-2.1,9.45); ya4=(-5.3,5.8,-8.4);

       │ -2 4 7 │          │ 2 3 –5 │

   C = │ 5 1 –4 │;     D = │71 -4 3 │;

       │ 16 3 –3 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить векторное произведение es3 и ya4;

- вычислить модуль вектора r=5*es3-2.9*ya4;

- вычислить скалярное произведение векторов r и (ya4-es3);

- вычислить определитель матрицы 5*C-3*D^4;

- вычислить произведение матриц (D^2-C^4) и (2D+3C);

- вычислить новую матрицу D1 путем вычисления функции exp

от элементов исходной D/20;

- вычислить след матрицы C^3;

 

11) hx3=(9.8,-7.1,5.34); mc4=(-4.3,5.9,-7.3);

       │ 9 13 7 │          │ 4 3 –5 │

   A = │ -5 3 4 │;     B = │81 -4 3 │;

       │ 4 9 –1 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить максимальный элемент вектора y=6*hx3-2.3*mc4;

- вычислить модуль векторного произведения 2*hx3 и y;

- вычислить скалярное произведение векторов y и (hx3+3*mc4);

- вычислить след и определитель матрицы 4.5*A-3.9*B;

- вычислить максимальный элемент произведение матриц (A-B)A+3B;

- получить новую матрицу A1 путем вычисления степени (1/3)

от элементов исходной матрицы A;

- транспонировать матрицу А^5;

 

12) yk3=(9.6,-7.3,1.45); vs4=(-8.1,4.4,-3.4);

       │ 7 4 2 │          │ 3 -3 –2 │

   W = │ -5 11 –4 │;     F = │11 4 3 │;

       │ 8 3 –3 │          │ 5 -1 4 │

- вычислить минимальный элемент вектора k=0.6*yk3-1.3*vs4;

- вычислить векторное произведение (yk3+vs4) и k;

- вычислить скалярное произведение векторов k и yk3;

- вычислить определитель матрицы 4*W-2*F+WF;

- транспонировать произведение матриц W^3 и F^4;

- получить матрицу W1 путем вычисления функции Бесселя J0

от элементов исходной матрицы W;

- упорядочить элементы 1-й строки матрицы (W+2F)^(-1);

 

13) nn3=(1.4,-2.3,6.05); mm4=(-0.4,3.3,8.4);

      │ 2 -3 -1 │   │ -1 0 5 │

  E = │ 4 5 2 │; G = │ 50 1 3 │;

      │ -3 0 7 │   │ -2 -2 4 │

- вычислить скалярное произведение nn3 и mm4;

- вычислить модуль вектора a=2*nn3-3*mm4;

- вычислить векторное произведение векторов 4*nn3 и -3*mm4;

- вычислить определитель матрицы 2*E-G;

- вычислить след произведения матриц E и G^4;

- получить матрицу E1 путем вычисления функции Бесселя J4

от элементов исходной матрицы G;

- вычислить след матрицы (E+5G)^(-1);

 

14) av3=(3.6,-4.1,9.45); qq4=(-5.1,5.8,-8.4);

       │ 6 4 7 │          │ 2 3 –5 │

   Y = │-5 1 –4 │;     H = │ 9 -4 3 │;

       │ 1 3 –3 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить векторное произведение av3 и qq4;

- упорядочить элементы вектора t=6*av3-2.3*qq4;

- вычислить скалярное произведение векторов t и qq4;

- вычислить определитель матрицы 5*Y-3*H;

- транспонировать произведение матриц Y^2 и H^2;

- получить матрицу H1 путем вычисления функции tg

от элементов исходной матрицы H;

- вычислить след матрицы Y^(-1);

 

15) st3=(6.6,-3.1,8.36); gg4=(-6.3,8.5,-1.3);

       │ 4 5 –2 │          │ 4 3 –1 │

   U = │17 -1 –3 │;     L = │29 13 4 │;

       │ 6 7 4 │          │ 5 -2 12 │

- вычислить модуль векторное произведение 2*st3 и -gg4;

- найти минимальный элемент вектора b=3.4*st3+4.3*gg4;

- вычислить скалярное произведение векторов b и gg4;

- вычислить определитель матрицы 3*U-2*L^3

- вычислить произведение матриц (U-L)^2 и (4U+L)^2

- вычислить след матрицы U1, элементы которой получены

вычислением функции Бесселя J1 от элементов матрицы U;

- вычислить след матрицы (U+L)^4;

 

16) tt3=(4.6,-2.7,2.48); hv4=(-8.3,5.4,-9.3);

       │ 14 -4 2 │          │ 3 -1 5 │

   B = │-11 3 4 │;     M = │10 -4 –8 │;

       │ 9 4 –3 │          │ 4 5 11 │

- вычислить модуль вектора c=6*tt3-2.3*hv4;

- вычислить векторное произведение (tt3+c) и hv4;

- вычислить скалярное произведение векторов c и hv3;

- вычислить определитель матрицы -2*B+3*M;

- вычислить след произведения матриц B^4 и M^3;

- вычислить новую матрицу M1 путем объединения матриц B и 2M;

- транспонировать матрицу (B-M)^7;

 

17) wr3=(4.3,-7.3,7.41); ac4=(-4.3,7.4,-7.9);

       │ 19 5 –7 │          │ 6 5 5 │

   S = │ -5 4 4 │;     N = │20 4 –3 │;

       │ 1 3 –1 │          │ 4 -3 2 │

- вычислить вектор d=4.9*wr3-5.3*ac4;

- вычислить модуль векторного произведения d и ac4;

- вычислить скалярное произведение векторов wr3 и ac4;

- вычислить след матрицы 3*S-7*N;

- вычислить определитель произведения матриц S^4 и N^(-1);

- вычислить матрицу N1, обратную матрице N;

- вычислить след матрицы (S-4N)^5;

 

18) dt3=(7.6,3.2,8.02); bs4=(-3.4,5.6,-6.4);

       │ -6 7 8 │          │ 3 4 –6 │

   D = │-15 4 –9 │;     J = │30 -3 5 │;

       │ 4 3 –1 │          │ 5 -2 7 │

- вычислить минимальный элемент вектора f=3.6*dt3-1.3*bs4;

- вычислить векторное произведение bs4 и 4*f;

- вычислить скалярное произведение векторов f и dt3;

- вычислить определитель матрицы D^4-3*J

- упорядочить элементы 2-й строки произведения матриц

D^(-1) и J^4;

- вычислить новую матрицу D1 путем вычисления функции arccos

от элементов матрицы D/10;

- вычислить след матрицы (D+J)^4;

 

19) uw3=(3.6,-4.1,9.45); po4=(-5.1,5.8,-8.4);

       │ 12 4 7 │          │ 2 3 –5 │

   P = │ -5 1 –4 │;     R = │40 -4 3 │;

       │ 11 3 –3 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить модуль векторного произведения uw3 и po4;

- упорядочить элементы вектора a=6*uw3-2.3*po4;

- вычислить скалярное произведение векторов a и uw3;

- вычислить определитель и след матрицы 5*R-3*P;

- найти минимальный элемент произведения матриц R^4 и P^4;

- вычислить новую матрицу R1 путем вычисления степени (3/7)

от модулей элементов матрицы R;

- транспонировать матрицу P^6;

 

20) da3=(4.6,-3.1,4.45); te4=(-5.1,6.8,-7.8);

       │ -3 5 17 │          │ 8 -3 5 │

   T = │ 15 6 –9 │;     W = │47 4 –3 │;

       │ 24 7 –3 │          │ 3 11 8 │

- вычислить модуль вектора g=6*da3-2.3*te4;

- вычислить векторное произведение da3 и g;

- вычислить скалярное произведение векторов g и (da3-te4);

- вычислить определитель матрицы 0.5*T-0.3*W;

- найти максимальный элемент произведения матриц T^3 и W^(-1);

- получить матрицу T1 путем вычисления функции arctg

от элементов матрицы T;

- вычислить объединение матриц 3T и W^2;

 

21) uk3=(3.6,-2.4,3.35); vm4=(-4.4,5.5,-6.7);

       │ -4 8 –7 │          │ 7 -3 –5 │

   A = │ 5 1 1 │;     Z = │-6 64 3 │;

       │ 21 13 3 │          │ 3 -9 11 │

- упорядочить элементы вектора h=6*uk3-4.3*vm4;

- вычислить модуль векторного произведения h и vm4;

- вычислить скалярное произведение векторов (h-uk3) и vm4;

- вычислить определитель матрицы 3.5*A-2.3*Z;

- вычислить след произведения матриц (4A+Z^2)(A-4Z);

- вычислить новую матрицу A1 путем вычисления кубического

корня от модулей элементов матрицы A;

- транспонировать матрицу Z^(-1);

 

 

22) mw3=(3.6,-2.1,9.45); cv4=(-5.1,5.8,-8.4);

       │ -2 4 7 │          │ 4 1 –5 │

   C = │ 35 1 –4 │;     D = │-1 54 3 │;

       │ 11 3 –3 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить векторное произведение mw3 и cv4;

- вычислить модуль вектора a=5*mw3-4.9*cv4;

- вычислить скалярное произведение векторов a и (cv4-mw3);

- вычислить определитель матрицы 5*C-3*D^4

- вычислить произведение матриц (D^2-C^4)(4D+3C)

- вычислить новую матрицу D1 путем деления всех элементов ис-

ходной матрицы D на минимальный;

- вычислить след матрицы C^3;

 

23) zx3=(9.8,-7.1,5.34); df4=(-2.3,5.9,-7.3);

       │ 16 33 7 │          │ 2 7 –5 │

   F = │ 5 3 4 │;     Y = │-1 60 3 │;

       │ -4 9 –1 │          │ 3 -1 1 │

- вычислить максимальный элемент вектора y=6*zx3-2.3*df4;

- вычислить векторное произведение 4*zx3 и y;

- вычислить скалярное произведение векторов y и (zx3+3*df4);

- вычислить определитель матрицы 4.5*F-1.9*Y

- транспонировать произведение матриц (F-J)F+3Y

- получить матрицу F1 путем вычисления функции Бесселя J1

от модуля элементов исходной матрицы F;

- вычислить след матрицы F^3;

 

 

24) sa3=(9.6,-7.1,3.45); ip4=(-8.1,4.4,-3.4);

       │ 17 4 2 │          │ 3 11 –4 │

   R = │ 5 31 –4 │;     S = │11 20 3 │;

       │ -1 3 –3 │          │ 5 -1 4 │

- вычислить модуль вектора k=0.6*sa3-1.3*ip4;

- вычислить векторное произведение (sa3+ip4) и k;

- вычислить скалярное произведение векторов k и sa3;

- вычислить определитель транспонированной матрицы 4*R-4*S+RS;

- упорядочить 2-й столбец произведения матриц R^3 и S^4;

- получить матрицу R1 путем вычисления функции ch

от элементов матрицы R/8;

- вычислить след матрицы (R+4S)^(-1);

 

 

25) gt3=(3.4,-4.3,6.05); yd4=(-0.4,3.3,8.4);

      │ 12 3 -1 │   │ -3 22 5 │

  U = │ 4 5 2 │; X = │ 40 -1 3 │;

      │ -3 0 7 │   │ 2 -2 4 │

- вычислить скалярное произведение gt3 и yd4;

- упорядочить элементы вектора a=4*gt3-3*yd4;

- вычислить векторное произведение векторов 4*gt3 и -3*yd4;

- вычислить определитель транспонированной матрицы 4*U-X;

- вычислить след произведение матриц U и X^4;

- получить матрицу U1 путем вычисления квадратного корня

от модулей элементов исходной матрицы U;

- вычислить максимальный элемент матрицы (U+5X)^(-1);

 

ЗАДАЧА 2. Выполнить указанные действия по решению заданных систем линейных уравнений и обработке матриц. Результаты вывести на экран с точностью 0.001.

- пример 1) - решить систему уравнений по формулам Крамера и методом обратной матрицы. Проверить результаты подстановкой;

- пример 2) - решить систему уравнений методом обратной матрицы. Проверить результаты подстановкой;

- пример 3) – вычислить матричное выражение;

- пример 4) – решить матричное уравнение. Проверить результат подстановкой;

Варианты условия задачи берутся из книги:

║ Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной ║

║ математике. М., 1990. - стр. 22-29.                 ║

 

 

ЗАДАЧА 3. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы. Результаты вывести на экран с точностью 0.0001. Проверить результаты подстановкой.

Варианты условия задачи берутся из книги:

║ Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной ║

║  математике. М., 1990. - стр. 39-40.                 ║

 

 

ЗАДАЧА 4. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы. Результаты вывести на экран с точностью 0.0001. Проверить результаты подстановкой.

Варианты условия задачи берутся из книги:

║ Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной ║

║ математике. М., 1990. - стр. 32-33.                 ║

 

 

Составил: Дей Е.А. v2.1 2008