Методы перехода от многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной

Для того, чтобы оценить насколько хорошо удовлетворяют требованиям ТЗ значения частных критериев качества при заданном наборе значений внутренних параметров X = (x1, x2.,…,xn), нужно построить обобщенный критерий качества (обобщенную целевую функцию) f(Х), которая одновременно учитывает требования ко всем частным критериям.

Иными словами, от многокритериальной задачи параметрической оптимизации в виде:

необходимо перейти к однокритериальной задаче:

Наиболее часто на практике используются следующие методы построения целевой функции (методы векторной свертки частных критериев): метод главного критерия, аддитивный, мультипликативный, минимаксный и вероятностный /7-9/.

В методе выделения главного критерия проектировщик выбирает один, наиболее важный с его точки зрения частный критерий качества, который и принимается за обобщенную целевую функцию, а требования к остальным частным критериям учитывают в виде ограничений f(X)=Kt(X), (1.7)

где t – номер наиболее важного частного критерия. Например, задана принципиальная электрическая схема логического элемента и условия работоспособности на следующие выходные параметры: y1 – коэффициент нагружения, y2 – запас помехоустойчивости, y3 – средняя рассеиваемая мощность, y4- задержка распространения сигнала. Необходимо рассчитать параметры пассивных элементов, то есть управляемые параметры – это сопротивления резисторов. В качестве целевой функции может быть выбран один из выходных параметров, например, y4 ( f(X)= y4 ).

В аддитивном методе каждому из частных критериев качества ставится в соответствие весовой коэффициент (вес i-го частного критерия 01i=1,…,s,), характеризующий важность данного критерия с точки зрения проектировщика (сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1).

При построении целевой функции в аддитивном методе используется соотношение: если f (X)max, то -f (X)min. Каждый частный критерий можно включить в аддитивную целевую функцию по правилу: умножить на весовой коэффициент и включить в целевую функцию со знаком плюс или минус.

Чтобы построить минимизируемую целевую функцию f ^¯(X)min, все минимизируемые частные критерии K^¯i (X) (K¯i (X) min, i = 1,…,t) включают в аддитивную функцию со знаком плюс, то есть прибавляют к целевой функции, а все максимизируемые критерии K⁺i(X) ( K⁺i(X) min, i = t+1,…,s) включают в аддитивную функцию со знаком минус, то есть вычитают из целевой функции:

или для максимизируемой целевой функции:

t _ s +

f (X)=-  Ki(X)+  Ki(X) ) max, (1.9)

i=1 i=t+1

где s – общее число частных критериев, а t – количество минимизируемых критериев.

В нашем примере четыре частных критерия, то есть s = 4, t = 2:

K1(X)max,

K2(X) max,

K3(X) min,

K4(X)  min.

Пусть        тогда

 f(X) = K1(X) K2(X)K3(X) K4(X)  max,

или

f(X) = K1(X) K2(X) K3(X) K4(X)  min.

В мультипликативном методе используется правило: если f (X)max, то 1/ f (X)min при условии, что f (X)

В отличие от аддитивного метода, частные критерии не складывают, а перемножают. Кроме того, в мультипликативном методе не используют весовые коэффициенты. Целевая функция строится в виде дроби.

Если f(X)min, то в числитель дроби включают произведение всех минимизируемых критериев, а в знаменатель – произведение всех максимизируемых критериев:

или если целевую функцию нужно максимизировать:

В нашем примере с применением мультипликативного метода свертки критериев целевые функции:

Минимаксный метод построения обобщенной целевой функции получил свое название потому, что в нем минимизируется максимальное отклонение частного критерия качества от его наилучшего, желаемого значения (технического требования, оговоренного в ТЗ).

где X = (x1, x2.,…,xn), то есть

Логика минимаксного построения целевой функции заключается в том, что в каждый момент времени в качестве главного выбирается тот из частных критериев качества Ki(X), который в наибольшей степени удален от своего желаемого (оптимального) значения Ki*. В нашем примере (s = 4) при желаемых значениях K1* = 0,2; K2* = 1000; K3* = 25; K4* = 1 по минимаксному методу получим:

Другими словами, минимизируется “самый плохой” из частных критериев.

Рассмотрим три ситуации, изображенные на рис. 1.1. На оси у откладывается величина Ki(X)Ki*Ki* для всех частных критериев (i = 1,2,3,4 для нашего примера). В случае а) хуже всего удовлетворяет требованиям ТЗ критерий K3(Х), поэтому f(X)=K3(X) K3* K3*, то есть в течение некоторого времени усилия оптимизации будут направлены на приближение критерия K3(X)к его желаемому значению K3*При этом могут ухудшиться значения других критериев. Например, в случае б) для дальнейшей оптимизации будет выбран критерий K1(X).

Рис. 1.1

Процесс продолжают до тех пор, пока все частные критерии не будут достаточно (с требуемой точностью) близки к своим желаемым значениям ( случай в), изображенный на рис. 1.1). При этом приведение критериев к нормированному виду Ki(X)Ki* Ki*необходимо, чтобы в равной степени учитывать изменение критериев независимо от их абсолютных величин (как слишком больших, так и слишком малых, возможно различающихся на несколько порядков).

В случае вероятностного (статистического) метода построения обобщенной целевой функции выбирают

f(X) = P(X) max, (1.16),

где P(X) – вероятность выполнения условий работоспособности, то есть вероятность того, что при наборе значений внутренних параметров X = (x1, x2.,…,xn ) выходные параметры объекта проектирования будут удовлетворять требованиям ТЗ. Для определения вероятности Р(Х) на практике обычно используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / 5 /.