Модель Мальтуса (рождаемость смертность)

Модели динамики численности популяций

1) Определение популяции

2) Модель неограниченного роста

3) Модель Мальтуса (рождаемость и смертность)

4) Модель Ферхюльста (рождаемость и смертность с учетом роста численности)

Определение популяции

Популяция - это совокупность особей одного вида, находящихся во взаимодействии между собой и совместно заселяющих общую территорию

Основные характеристики популяции: численность, плотность, рождаемость, смертность, темп роста и др.

 Кроме того, популяции имеют определенную структуру:возрастную(соотношение особей разного возраста), сексуальную(соотношение полов), пространственную (колонии, семьи, стаи и пр.). Так возрастная структура популяции является важной характеристикой влияющей на рождаемость и смертность. Соотношение разных возрастных групп в популяции определяет ее способность к размножению в данный момент, причем обычно в быстро растущих популяциях значительную долю составляют молодые особи. Соотношение молодых особей у промысловых птиц и пушных зверей к численности всей популяции определяет во время охотничьего сезона размер допустимых квот на отстрел или отлов.

 Соотношение полов также имеет практическое значение (стада домашних животных, когда без ущерба динамики численности популяции можно изъять определенное количество особей того или иного вида)

Модель неграниченного роста численности популяции

 Все живые организмы теоретически способны к очень быстрому увеличеню численности. При неограниченных ресурсах и отсутствии гибели от болезней, жищников и т.п. даже при низкой исходной численности популяция любого вида за сравнительно короткий срок может так вырасти, что покроет весь земной шар сплошным слоем.

Способность к увеличению численности за данный промежуток времени называют биотическим потенциалом вида

У разных видов биотический потенциал разный: у крупных млекопитающихся численность может возрастать в год лишь в 1,05 - 1,1 раза, а у мелких насекомых (рачков, дафний) численность в год может возрасти в 1010-1030раз. А у бактерий и одноклеточных водорослей еще быстрее. Во всех этих случаях, при идеальных условиях численность будет расти в геометрической прогрессии и график изменения численности будет представлять собой экспоненту. Рост численности в геометрической прогрессии называется экспонециальным ростом.

 В лабораторных условиях наблюдать экспоненциальный рост можно в популяциях дрожжей, водоросли хлореллы, бактерий на начальных стадиях роста.

 В природе экспоненциальный рост наблюдается при вспышках саранчи, непарного шелкопряда и других насекомых. Экспоненциально может расти численность животных, заселенных в новую местность, где у них мало врагов и много пищи ( класический пример - рост численности кроликов, завезенных в Австралию).

 Во всех этих случаях экспоненциальный рост наблюдается в течене коротких промежутков времени, после чего скорость роста численности снижается.

Построим модель неограниченного роста амеб.

Постановка задачи:

 Одноклеточная амеба делится каждые 3 часа на двое. Построить модель роста численности клеток через 3,6,9,12... часов. Факторы, приводящие к гибели амеб не учитываются.

Математическая модель

 Формула нарастания времени :

 T(I+1)=T(I)+A

 А - интервал нарастания времени (для амеб он равен 3)

 Формула для расчета численности амеб

 K(I+1)=K(I)*B

 где K(I) - численность амеб в I-й промежуток времени, K(I+1) - количество амеб в I+1 -й момент времени, B - биотический потенциал амеб (он равен 2 для промежутка времени 3 часа )

Компьютерная модель

 Создадим таблицу вида:     

Построив график зависимости численности от момента времени, мы увидим пример эспоненциального роста численности амеб на коротком промежутке времени.

Модель Мальтуса (рождаемость смертность)

 В популяциях микроорганизмов удельная скорость роста зависит от скорости деления клеток. Исходные клетки делятся на дочерние, что и определяет прирост численности.

 В популяциях многоклеточных организмов удельная скорость роста зависит от рождаемости и смертности.

 Рождаемость характеризует частоту появления новых особей в популяции. Раличают рождаемость абсолютную и удельную. Абсолютная рождаемость - число особей , появившихся в популяции за единицу времени. Удельная рождаемость выражается в числе особей на особь в единицу времени. Например, для популяции человека как показатель удельной рождаемости обычно используют число детей, родившихся в год на 1000 человек.

Смертность (абсолютная и удельная) характеризуетскорость убывания численности популяции, вследствии гибели особей от хищников, болезней, старости и т.д.

 Используя такие параметры модели изменения численности популяции , австрийский священник Мальтус опубликовал в 1802 году результаты своих исследований , основанных на данных о росте населения в американских колониях. Приведем его рассуждения.

Математическая модель.

 Пусть в популяции с начальной численностью N особей за промежуток времени dt появляется dN овых особей. Если число вновь появившихся особей прямо пропорционально N и dt. то имеем уравнение dN= r* dt* N. Разделив обе части на dt получим

dN/ dt = r* N (1)

dN/ dt - абсолютная скорость роста численности , r - биотический потенциал

 решением уравнения (1) будет

N( t)= N0* ert (2)

 в дискретном виде это уравнение можно записать так

N( t+1)= N0* er*( t- t0) (3)

 Это уравнение можно взять за основу при создании компьютерной модели.

Компьютерная модель