Задачи идеальной интерполяции
В общем случае формула интерполяции имеет вид:
, (13)
- оценка значения i-ой выборки, - восстановленный первичный сигнал,
.
Интерполяция возможна в том случае, если в сигнале имеются корреляционные связи. Может быть поставлена задача оптимального выбора вида функции , при которой ошибка интерполяции минимальна. Рассмотрим задачу идеальной интерполяции сигнала при предположении, что , т.е. отсутствуют внешние шумы и ошибки системы. Пусть непрерывный первичный сигнал описывается корреляционной функцией . Требуется определить форму интерполирующей функции, обеспечивающей при заданных значениях коэффициента корреляции минимум СКО
. (14)
Можно показать, что в этом случае оптимальная интерполирующая функция имеет вид:
, (15)
где - весовые коэффициенты, однозначно связанные со значениями коэффициентов корреляции в точках , . Т.о., оптимальная интерполирующая функция может быть определена как взвешенная сумма функций времени равных корреляционной функции первичного сигнала. Как следствие этой теории может бать доказана следующая теорема: Если на интервале интерполяции корреляционная функция и ее взвешенная сумма хорошо аппроксимируются полиномом, то использование этого приближения обеспечит среднеквадратическое приближение близкое к идеальному. Т.е. требуется хорошая аппроксимация не всей корреляционной функции, а только ее части, приходящейся на интервал интерполяции (рисунок 5).
Рисунок 5
Чем меньше , тем точнее возможна аппроксимация в виде многочлена и тем проще могут быть аппроксимирующие полиномы. Проиллюстрируем эту теорему для сигнала с прямоугольным спектром (рисунок 6):
Рисунок 6
Известно, что в этом случае в соответствии с теоремой В.А. Котельникова возможно разложение первичного сигнала в ряд:
, (16)
где - частота опроса. В точках интерполирующая функция равна: . (17) Сопоставим этот результат с выражением для идеальной интерполирующей функции:
. (18)
Чтобы эти формулы совпали, необходимо чтобы при , а в случае , т. е. чтобы корреляционная функция имела вид:
. (19)
Такой функцией корреляции обладает сигнал с прямоугольным спектром, а условие при приводит к требованию, чтобы частота опроса . Это соотношение не может быть использовано на практике по следующим причинам: 1. Сигнала с идеальным прямоугольным спектром не существует. 2. Число выборок . На практике при представлении регулярными выборками частота опроса выбирается исходя из соотношения
ж , (20)
где определяется формой спектра сигнала, а ж – коэффициент запаса, зависящий от вида интерполирующих полиномов и требуемых значений показателя верности.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (193)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |