Упругие волны в стержне.
Волновое уравнение. В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.
Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+ х. Масса этого куска равна р0S0 х, где р0 и S0 – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда слева стоит произведение массы куска на ускорение д2 /д t2 его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок. Разделим уравнение на S0 : (2.7) Перейдя к пределу при , получим уравнение (2.8) справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.
Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим: (2.9)
Вспомнив теперь формулу , содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем: (2.10) Это—волновое уравнение.Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн (2.11) или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне) (2.12) (мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики. Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой .движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация инапряжение . Дифференцируя (2.11)по t и но x,получаем: v= uf’(x ut) (2.13a) =f'(x ut), (2.13б) =Ef’ (x ut). (2.13в) Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения. На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот). Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что (2.14) где (2.15) есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (161)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |