Задачи для самостоятельной работы
Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции , равная произведению производной функции в точке на приращение независимой переменной: . Отсюда приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать или . Приведенная формула используется в приближенных вычислениях, причем, чем меньше , тем точнее формула. Пример 3.1. Вычислить приближенно Решение. Рассмотрим функцию . Это степенная функция и её производная В качестве требуется взять число, удовлетворяющее условиям: - значение известно или достаточно просто вычисляется; - число должно быть как можно более близким к числу 33,2. В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число = 32, для которого = 2, = 33,2 -32 = 1,2. Применяя формулу, находим искомое число: + . Пример 3.2. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых. Решение. За год вклад увеличивается в раз, а за лет вклад увеличится в раз. Теперь необходимо решить уравнение: =2. Логарифмируя, получаем , откуда . Получим приближенную формулу для вычисления . Полагая , найдем и в соответствии с приближенной формулой . В нашем случае и . Отсюда . Так как , находим время удвоения вклада лет. Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение дифференциала функции в точке. 2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной? 3. Каким условиям должно удовлетворять число , входящее в приведенную формулу? Задачи для самостоятельной работы Вычислить приближённое значение , заменив в точке приращение функции ее дифференциалом. Таблица 3.1
4. Исследование функций и построение их графиков Если функция одной переменной задана в виде формулы , то областью ее определения называют такое множество значений аргумента , на котором определены значения функции. Пример 4.1. Значение функции определены только для неотрицательных значений подкоренного выражения: . Отсюда областью определения функции является полуинтервал [4; ). Пример 4.2. Функция не определена при таких значениях аргумента , когда либо знаменатель равен нулю ( ), либо подкоренное выражение отрицательно ( <3). Тогда областью определения служит множество, являющееся объединением интервалов (3;4) (4;5) (5; ). Пример 4.3. Функция определена только на отрезке [-1;1], так как значение тригонометрической функции удовлетворяют неравенству: -1 1. Функция называется четной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство , и нечетной, если справедливо другое соотношение: . В других случаях функцию называют функцией общего вида. Пример 4.4. Пусть . Проверим: . Таким образом, эта функция является четной. Для функции верно . Отсюда эта функция является нечетной. Сумма предыдущих функций является функцией общего вида, так как функция не равна и . Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки ( ; ) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (рис. 4.1), горизонтальные (рис. 4.2) и наклонные (рис. 4.3) асимптоты.
Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции в точке бесконечен или не существует), либо на концах ее области определения , если – конечные числа. Если функция определена на всей числовой оси и существует конечный предел , либо , то прямая, задаваемая уравнением , является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая - левосторонней горизонтальной асимптотой. Если существуют конечные пределы и , то прямая является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней ( ) или левосторонней ( ). Функция называется возрастающей на множестве , если для любых , таких, что > , выполняется неравенство: > (убывающей, если при этом: < ). Множество в этом случае называют интервалом монотонности функции. Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве. Пример 4.5. Дана функция . Найти ее интервалы возрастания и убывания. Решение. Найдем ее производную . Очевидно, что >0 при >3 и <0 при <3. Отсюда функция убывает на интервале ( ;3 ) и возрастает на (3; ). Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство ( ). Значение функции в точке называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции. Для того чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума. Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции. Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет. Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если <0, то является точкой максимума, а если >0, то - точка минимума. При =0 вопрос о типе экстремума остается открытым. Функция называется выпуклой (вогнутой) на множестве , если для любых двух значений выполняется неравенство: .
Рис.4.4. График выпуклой функции
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на множестве . Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0. Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика. При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений , а для <0 график симметричен относительно оси в случае четности функции и симметричен относительно начала координат – для нечетной функции). 3. Найти вертикальные асимптоты. 4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты. 5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба. 7. Найти точки пересечения функции с осями координат. Пример 4.6. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. 1.Функция представляет многочлен 3-й степени, поэтому она определена и непрерывна для всех . 2. Найдем значение функции при значении аргумента (- ): , а также . Таким образом, исследуемая функция является функцией общего вида и ее требуется исследовать на всей числовой оси. 3. Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва второго рода не имеет, следовательно, у нее вертикальные асимптоты отсутствуют. 4. Рассмотрим поведение функции в бесконечности. Найдем пределы: ;
Так как пределы не являются конечными, то горизонтальных асимптот у функции нет. Далее проверим наличие у функции наклонных асимптот. Вычислим предел:
. Поскольку предел не является конечными, то наклонные асимптоты также отсутствуют. Если бы предел являлся конечным и равнялся k, то требовалось найти другой предел . В случае, когда он также конечен (равен числу b), устанавливается наличие наклонной асимптоты, задаваемой уравнением . Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную: . Производная также определена и непрерывна на всей числовой оси. Отсюда критическими точками могут быть только те, в которых производная равна нулю. Для нахождения стационарных точек функции приравниваем производную нулю: и решаем квадратное уравнение: = = 4, , Теперь можно записать: =0. В итоге функция имеет две стационарные точки . Используя метод интервалов, найдем интервалы знакопостоянства производной функции.
1 _ 5/3
Рис.4.5
При <1 и >5/3 производная >0, т.е. интервалы и являются интервалами возрастания функции. При 1< <5/3 имеем <0 и интервалом убывания является . Поскольку при <1 знак >0, а при >1 <0, то стационарная точка = 1 является точкой максимума функции. В другой стационарной точке = имеем <0 слева от нее и >0 справа. Следовательно, в точке = функция имеет локальный минимум. 5. Для нахождения интервалов выпуклости вычислим вторую производную функции . Вторая производная также определена на всей числовой оси и точки, где она не существует, отсутствуют. Приравнивая вторую производную к нулю: = 0, находим точку 3 = , которая может быть точкой перегиба. Если <4/3, то <0 и на интервале функция вогнута. При >4/3 >0 и интервал является интервалом выпуклости функции. В итоге, поскольку при переходе точки производная меняет знак, то является точкой перегиба функции. 6. Определим точки пересечения функции с координатными осями. Полагая аргумент =0, находим точку пересечения графика функции с осью ординат : . Записывая уравнение , найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Методом перебора из делителей свободного члена (равного 4) определяем, что =2 является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином ( ):
0 . Отсюда уравнение можно записать в виде . Решением квадратного уравнения является =1 (кратный корень, поэтому график функции касается в точке =1 координатной оси). Для удобства построения графика функции полученные результаты запишем в следующую таблицу. Таблица 4.1
Рис. 4.6. График исследуемой функции
Вопросы для самопроверки
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (216)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |