Метод симметричных составляющих

Общие сведения о расчетах несимметричных видов КЗ

До сих пор мы рассматривали только трехфазное симметричное короткое замыкание в электрической сети. Однако следует отметить, что такой вид замыкания наиболее редко встречается на практике. Часто авария начинается с несимметричных замыканий — замыканий одной, реже двух фаз и двух фаз на землю, а уж только потом, в результате своего развития, она способна перейти к трехфазному КЗ.

Несимметричные короткие замыкания вызывают поперечную несимметрию. Случаются аварии с несимметрией продольного характера, из-за обрыва одной или двух фаз линии, но такие случаи не входят в объем данного курса (рассматриваются в литературе, указанной в источниках).

В разделе несимметричных КЗ будут рассмотрены следующие виды замыканий:

Рассчитать несимметричное КЗ — значит определить ток замыкания поврежденной (или поврежденных), а также напряжение неповрежденной (или неповрежденных) фаз.

Строгий математический анализ переходных процессов при несимметрии затруднен тем, что в электрических машинах возникает пульсирующее магнитное поле ротора, которое образует полный спектр высших гармонических составляющих тока. Поэтому в большинстве практических расчетов учитывается лишь основная гармоника токов или напряжений. Но и это не решает главной трудности — собственно несимметрии токов и напряжений в фазах.

Выход мог бы заключаться в расчетах трехлинейных схем замещения, в которых рассматривались бы пути токов в каждой фазе и соответствующие падения напряжений, но это привело бы, по крайней мере, к усложнению систем уравнений в три раза, и в итоге сделало бы практически невозможным расчет сложных схем «вручную».

На помощь пришел достаточно несложный и изящный метод симметричных составляющих.

Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих базируется на математической теории многофазных электрических систем при неодинаковых условиях работы фаз.

Он предполагает, что любую несимметричную систему токов и напряжений можно разложить на три симметричные, называемые системами прямой, обратной и нулевой последовательностями. Эти системы получили название «симметричные составляющие». Предполагается, что они одновременно возникают в несимметричном режиме и циркулируют в сети. Несимметричная система токов допускает только одно разложение на симметричные составляющие.

• Симметричная система токов прямой последовательности (параметры имеют индекс (1)) полностью повторяет по своей «идеологии» обычную симметричную систему в трехфазной сети. Она представляет собой три одинаковых по величине вектора, расположенных под углом 120°, вращающихся против часовой стрелки так, что соблюдается нормальное чередование фаз: А – В – С.

• Симметричная система токов обратной последовательности (параметры имеют индекс (2)) представляет собой три одинаковых по величине вектора, расположенных под углом 120° и вращающихся против часовой стрелки так, что соблюдается обратное чередование фаз: А – С – В.

• Симметричная система токов нулевой последовательности (параметры имеют индекс (0)) существенно отличается от прямой и обратной. Она представляет собой систему трех переменных токов, совпадающих по фазе и имеющих одинаковую амплитуду. Эти токи являются, по существу, разветвлением однофазного переменного тока, для которого три провода трехфазной цепи составляют один прямой провод, а обратным служит земля или четвертый (нулевой) провод. Появление токов нулевой последовательности в сети означает возникновение в ней несимметричного замыкания на землю.

Главное, что позволяет метод — это искать отдельно напряжения и токи разных последовательностей, во многом пользуясь теми же соображениями и навыками (законами Ома и Кирхгоффа, расчет симметричных однолинейных схем замещения и т. д.), которые применялись в расчетах трехфазных КЗ. Реальные же несимметричные параметры каждой из фаз получаются как сумма трех векторов в соответствующей фазе:

Примечание. Далее для записи систем уравнений пользуются оператором а. Это вектор единичной длины имеет аргумент, равный 120:

Если любой некоторый вектор умножить на а, то это означает повернуть его на 120° против часовой стрелки. Если некоторый вектор умножить два раза на а, то это означает повернуть его на 240° против часовой стрелки. С помощью вектора а, например, можно выразить токи фаз В и С через ток фазы А:

Забегая вперед, можно отметить, что это позволит далее, например, искать только вектор тока фазы А и только прямой последовательности, а остальные будут найдены с использованием дополнительных уравнений и вектора а.

Некоторые элементы трехфазной сети для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей имеют неодинаковые сопротивления. В большей степени это относится к нулевой последовательности. Только если нет взаимного влияния фаз (т. е. М=0), то x1=x2=x0.

Для определения эквивалентных суммарных значений сопротивлений необходимо составлять отдельно схемы замещения прямой, обратной и нулевой последовательностей по особым правилам, которые обсуждаются в следующих разделах.

В итоге общий алгоритм расчета несимметричных КЗ выглядит так:

Векторная диаграмма, например, однофазного КЗ в фазе А может выглядеть (в точке КЗ) так:

Токи и напряжения каждой фазы через симметричные составляющие выражаются так:

При необходимости могут быть выполнены обратные преобразования аналогично для токов и напряжений:

В симметричных электрических системах токи и напряжения схем отдельных последовательностей могут рассматриваться независимо друг от друга и быть связаны между собой законами Ома и Кирхгофа:

.

Эти уравнения будут активно использоваться далее при выводе уравнений расчета токов КЗ.

Кроме того, между системами трех симметричных составляющих всегда существует связь, задаваемая условиями короткого замыкания. Эта связь будет установлена ниже путем перевода граничных условий короткого замыкания, заданных через действительные токи и напряжения, в условия, заданные через симметричные составляющие.

Все вышеперечисленное дает возможность найти все симметричные составляющие напряжений и токов, а затем через них определить искомые несимметричные параметры.

Необходимо также отметить, что э.д.с. генераторов симметричны, т. е. не содержат обратной и нулевой составляющих. Отсюда следует, что:

• в электрических системах существуют только э.д.с. прямой последовательности, только в схеме прямой последовательности;

• источником обратной и нулевой последовательностей является точка КЗ, токи определяются только напряжениями в точке КЗ.

Примечание. При рассмотрении несимметричных видов КЗ вводят понятие особой фазы. В случае однофазного КЗ повреждение получает только одна фаза, которая оказывается в особом положении по отношению к другим двум, ее и называют особой. При двухфазном и двухфазном КЗ на землю две фазы замыкаются, а одна оказывается здоровой — особая фаза. Как правило, за особую берут фазу А.