Поведение системы в зависимости от общего количества фишек (N)

ИГРЫ, В КОТОРЫЕ ИГРАЕТ

ПРИРОДА

Новый научно-популярный журнал

Выпуск 1-ый.

Май 2004 г

Содержание

 

Часть 1. Игра Эренфеста-Шредингера............................................................... 3

1.1. Введение..................................................................................................... 4

1.2. Описание игры Эренфеста-Шредингера……………………………………………………………..……………..5 

1.3. Анализ графиков при N > 20..................................................................... 7

1.4. Анализ графиков при N < 20.................................................................... 11

1.5. Поведение системы в зависимости от общего количества фишек (N).... 12

1.6. Поведение системы. Анализ...................................................................... 15

1.7. Выводы...................................................................................................... 16

Часть 2. Флуктуации, флуктуации,чтоб мы делали без вас.............................. 17

2.1. Загадка голубого неба.............................................................................. 18

2.2. Не было ни гроша, да вдруг алтын, или как из газа получить кристаллы 21

2.3. Как верблюду в игольное ушко пролезть?.............................................. 23

2.4. Молекулярный футбол............................................................................. 25

 

        

Часть 1.

Игра Эренфеста-Шредингера

Введение

Рождение и смерть звезды, скатывание мячика, ржавение железа, вспышки на Солнце, переход тепла от более нагретого тела к менее нагретому. Все это необратимые процессы.

Необратимые процессы – это такие процессы, которые развиваются в пространстве и времени. Если некоторые процессы можно было бы остановить или обратить вспять, то эти - никогда. Они будут безудержно развиваться. Мы хотели понять природу этих процессов, хотели понять, почему их так много.

Среди бесконечного множества примеров необратимых процессов для моделирования мы выбрали самый понятный и простой - диффузия.

Диффузия– движение частиц среды, приводящее к переносу вещества и выравниванию концентраций, равномерному распространению молекул одного вещества среди молекул другого вещества.

В нашей работе мы коснемся только закрытых систем, то есть таких систем, которые не имеют обмена веществом с внешней средой.

Например, принесем в комнату ватку, намоченную одеколоном. Через некоторое время вы, стоя в другом конце комнаты, начнете чувствовать запах одеколона. Это значит, что частицы одеколона дошли до вас, распространившись по всей комнате, и, взяв 1 см³ воздуха в разных частях комнаты мы получим, что количество молекул одеколона в разных местах комнаты стало примерно одинаково.

Чтобы более наглядно показать поведение молекул в тех или иных ситуациях, понять, почему они ведут себя именно так, а не иначе, в своей работе мы использовали в качестве модели игру Эренфеста-Шредингера.

Эта игра моделирует диффузию газа в сосуде, перегороженном на две половины перегородкой с отверстием такого размера, чтобы молекула газа могла свободно через неё пройти.

Эту игру придумали знаменитые голландские физики – супруги Эренфесты, примерно в начале XX века. В неё играли Кольрауш и Шредингер, причем вручную, и опубликовали свои результаты.

1.2. Описание игры Эренфеста-Шредингера

Игра Эренфеста-Шредингера является моделью необратимых процессов в природе. Устроена она следующим образом: имеются два ящика и некоторое количество фишек, произвольно распределенное по ящикам. Далее, чтобы смоделировать движение, все фишки нумеруются и случайным образом узнается число – номер фишки, переходящей из одного ящика в другой. Если общее количество фишек 6, то достаточно использовать кубик, но в нашей работе использовался генератор случайных чисел ( от 1 до N, где N – максимальное общее количество фишек). Каждый ход фиксируется в программе Excel на графике. Вот, например, график для N=20:

 

Моделирование также проводилось для большего значения N, но, поскольку при большом значении N вручную играть в игру нелегко, использовалась компьютерная версия игры “Erenfest”, в которой предусмотрено большое значение N (максимальное – 10 000), а также большое количество ходов (максимальное – 15 000). Исследовалось поведение заселения фишек в ящиках при разном значении N. Для исследования поведения флуктуаций в зависимости от N (флуктуация – случайное отклонение от среднего) в данной работе вычислялись максимальная (F_max), средняя (F_ср) и относительная (F_отн) флуктуации. Результаты представлялись в виде таблицы и графиков зависимости F_max, F_ср и  F_отн .

 

Табл. 1.1

Количество фишек	Максимальная флуктуация	Средняя флуктуация	Относительная флуктуация
6
10
20
50
100
200
400
500
600
800
1000

 

-  Максимальная флуктуация – максимальное отклонение от равновесия.

-  Средняя флуктуация – среднее значение отклонения от равновесия.

- Относительная флуктуация – средняя флуктуация по отношению к общему количеству N.

 

1.3. Анализ графиков при N > 20

 

  Результаты игры Эренфеста-Шредингера представлены в виде графиков на рис.2. На графиках по оси X отложено число ходов (n), по оси Y-заселённость в ящиках (N1 и N2).

  В нашем исследовании мы изменяли общее количество фишек (N) и исследовали изменение заселённости ящиков (N1, N2) в зависимости от номера хода (n). Число ходов в начале исследования было принято равным 15000.

   Моделирование проводилось для разных начальных состояний:

1. Все фишки находились в одном ящике.

2. В разных ящиках, с разным количеством фишек.

   Рассмотрим графики. Из графиков (рис.       ) видно что для N ≥ 20, начиная c некоторого хода заселённость ящиков стремится к равновесию.

   Чем меньше первоначальная разность между заселённостями ящиков, тем быстрее наша система выходит на равновесие. Тем не менее, заселённость ящиков не остаётся постоянной, а наблюдаются отклонения от равновесного значения. Эти отклонения от равновесного значения называются флуктуациями.

Несмотря на флуктуации, ни при каких условиях все фишки после выхода на равновесие не собирались в одном ящике.

        Но при N < 20 появляются большие отклонения от положения равновесия, когда все фишки иногда переходят в один из ящиков. Относительные флуктуации здесь велики.

 

1.4. Анализ графиков при N < 20

Могут ли и при каких условиях все фишки после выхода на равновесие снова собраться в одном ящике?

Мы провели игру Эренфеста - Шредингера для различных значений N в интервале от 6 до 20. Количество ходов равнялось 15000. Результаты приведены на рис.           и в табл. 1.2. (в таблице К указывает, сколько раз на протяжении 15000 ходов все фишки оказываются в одном ящике).

                                                                                                          Табл. 1.2

N	К
6	480
7	220
8	89
10	17
15	9
20	0

 

По результатам таблицы мы построили график. Данные таблицы и графика наглядно указывают на то, что при N < 20 переход всех фишек в один ящик возможен. Однако эта возможность резко уменьшается с ростом N. Мы видим, что при N > 20 переселение фишек в один ящик за 15000 ходов не происходит. Из этого мы делаем вывод, что в природе, где системы содержат миллиарды молекул, в начальное состояние с неравной заселённостью возвратиться невозможно.

 

Поведение системы в зависимости от общего количества фишек (N)

При моделировании обнаружилось, что всегда распределение фишек в ящиках стремилось к равновесию.

Возникает вопрос: зависит ли величина флуктуаций от N? Для этого было проведено моделирование поведения системы при разных N. Результаты моделирования приведены в таблице 1.3 и на рисунках

Из графиков видно, что величина средней флуктуации (F_сред) возрастает с увеличением N. Относительная флуктуация (F_отн) наоборот, с ростом N уменьшается и стремится к нулю. А какова зависимость между N и F_отн?

График зависимости F_отн от √N близок к прямой (рисунок). Следовательно, F_отн ~ 1/√N.

 

                                                                                       Табл. 1.3.

N	Fсред	Fотн	Fмакс
6 фишек	0,93737525	0,117039	3
10 фишек	1,227950136	0,121727	4,75
20 фишек	1,736702418	0,087702	7,75
50 фишек	2,869925899	0,05678	12,75
100 фишек	3,829968239	0,039226	16,25
200 фишек	5,711351794	0,029151	24
400 фишек	7,844532601	0,019821	30
500 фишек	8,783346557	0,016846	35,5
600 фишек	8,781927753	0,015341	44
800 фишек	10,67250381	0,014698	44,5
1000 фишек	10,95249746	0,012517	59
2000 фишек	12,00933	-	-
5000 фишек	19,75867	-	-
10000 фишек	28,8633	0,002886	90

√N

 

Характер изменения величины флуктуаций говорит о том, что при больших N флуктуации становятся малозаметными. Для реальных систем частиц (N порядка 6,02*10²³) флуктуации становятся настолько малы, что ими можно пренебречь. Однако в малых масштабах (т.е. в малых объемах при малом количестве частиц) или в течение больших отрезков времени, флуктуации играют большую роль. Это, например, эволюция Вселенной, голубой цвет неба, броуновское движение.