Определение значения случайной величины методом обратной функции

Имитационное моделирование

Равномерное распределение. Датчик псевдослучайных чисел

 

 

m_x = (a+b)/2                  D_x = (b-a)²/12

 

Рис.8.1

 

 

 

Рис.8.2

m_x =1/2                        D_x =1/12

 

                 

Р(x<1/2)=1/2         P(x<1/4)=1/4 и т.д.

 

Случайную величину ( СВ ) от 0 до1 можно представить как двоичную правильную дробь, в которой в каждом разряде с одинаковой вероятностью встречаются знаки 0 и 1. R = 0,a_-1a_-2a_-3……….a_-k….._,  где a_i –дискретная СВ, принимающая только два значения 0 и 1 с одинаковыми вероятностями, т.е.:

P{a_i=0} = p(a_i=1} = ½. Если из значений a_i составить двоичное число, то оно будет подчиняться равномерному распределению, т.е будет являться реализацией равномерно распределенной СВ R , значения которой заключены в отрезке [0,1]. Действительно вероятность попадания R в интервал (0,1/2) равна ½ так как p{a_-1  = 0}=1/2 ( если a_-1  = 0 то R<1/2 , если

 a_-1  =1 то R>1/2  ; вероятность попадания в интервал (0,1/4) равна ¼ и т.д. Вероятность попадания в любой интервал (l/2ⁿ,(l+1)/2ⁿ) , где l и n натуральные числа , равна длине интервала 1/2ⁿ. Следовательно, R – равномерно распределенная величина, функция и плотность распределения которой приведены на рисунках

 

 

Задачи единичного жребия.

Появилось ли случайное событие А?

Вероятность появления события А задана и равна р(А).

 

Какое из нескольких событий появилось?

Пусть имеется полная группа несовместных событий А₁,А₂,….,А_n с вероятностями соответственно р₁,р₂,….,р_n. Так как события образуют полную группу и несовместны . Разделим интервал от 0 до 1 на n участков длиной р₁,р₂,….,р_n.

 

 

Рис.8.3

Такое построение называют построением числовой линейки.

Если случайное число выбранное с помощью ДСЧ попало на участок Р_i то это означает что произошло событие А_i.

 

Пример

Пусть на некоторую систему массового обслуживания поступает N простейших потоков с интенсивностями λ₁, λ₂…… λ_N вызовов в единицу времени. И пусть известно, что в момент времени t в СМО поступил вызов. Требуется определить к какому потоку относится этот вызов. (В примере момент времени t мы не определяем, а считаем его заданным)

Сумма простейших потоков является простейшим потоком с интенсивностью

. Вероятность появления вызова j-го потока

Разделим интервал от 0 до 1 на отрезки длины p_j

 

 

 

Рис.8.4

 

 

8.4 Имитация зависимых событий:

 

Задана безусловная вероятность А Р(А) и условная вероятность события В при условии ,что события А произошло P(B|A)

 

 

 

Рис.8.5

 

Определение значения случайной величины методом обратной функции

 

Пусть требуется разыграть значение СВ Х имеющей известный закон распределения.

 

 

 

Рис.8.6

 

 

8.6 Имитация дискретных случайных величин.

 

Простейшей формой закона распределения дискретной случайной величины Х является ряд распределения - таблица, в верхней строке которой перечислены все значения случайной величины в порядке их возрастания, а в нижней соответствующие им вероятности:

Х:	х1	х2	…	xi	,,,
	p1	p2	…	pi	…

 

Где p_i= P{X=x_i);        

Если R – равномерно распределенная на (0,1) случайная величина, то искомая случайная величина X получается с помощью преобразования , где  - функция обратная F.

Простейший алгоритм вычисления:

(1) если R<p₁, то X=x₁ иначе,

(2)  если R<p₁+р₂, тоX =x₂ иначе,

…..............................................................

(3)   если R<p₁+р₂+….+р_m, то X=x_m иначе,

….......................................................................