Краткие теоретические сведения

На правах рукописи

 

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Курганский государственный университет»

Кафедра «Экология и безопасность жизнедеятельности»

 

 

Методические указания к выполнению практической работы

Расчет количественных показателей надежности

С учетом стохастических закономерностей

 

по дисциплине

 

Надежность и устойчивость технических систем, управление рисками

 

для обучающихся по направлению 20.04.01 «Техносферная безопасность»

 

 

Курган 2018

Кафедра «Экология и безопасность жизнедеятельности »

 

Дисциплина

«Надежность и устойчивость технических систем, управление рисками»

(направление 20.04.01 «Техносферная безопасность»)

 

Составил: канд. техн. наук, доц. А.И. Микуров

 

Утверждены на заседании кафедры Э и БЖД  от              201 г.

 

Рекомендованы методическим советом университета «__»               201__г.

 

 Введение

Методические указания к практическим занятиям содержат теоретические сведения, включающие в себя методики расчета показателей надежности, структурные схемы изучаемых систем, справочные данные и другие сведения. Также в методических указаниях содержатся примеры решения задач, варианты заданий, вопросы для самопроверки и библиографические источники.

Цель занятия: изучение и практическое знакомство с алгоритмами расчета надежности сложных технических систем, определение надежности программных комплексов, а также закрепление основных положений теорий, полученных на лекциях.

Задачи занятия:

1) изучить аналитические зависимости определения количественных показателей надежности системы;

2) рассчитать показатели надежности для экспоненциального и нормального закона распределения времени безотказной работы объекта.

 

Краткие теоретические сведения

 

Вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t

                                                                                             (3.1)

 

Вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t

q(t) = 1 - p(t).                                   (3.2)

Частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия Т

                                                                                         (3.3)

 

Интенсивность отказа изделия

 

                                                                                         (3.4)

 

Формулы (3.1)-(3.5) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид:

 

p(t) = e^-Xt ; q(t) = 1 - e^-Xt ;

 

Формулы (3.1)-(3.5) для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид:

 

 

где m, σ - параметры нормального распределения.

 

На рисунке 3.1 приведены значения функции Ф₀(z) и ее график.

Рис. 3.1. Функция Ф₀(z)

 

Формулы (3.1)-(3.5) для закона распределения Вейбулла-Гнеденко примут вид:

 

 

где a, k - параметры закона распределения Вейбулла-Гнеденко; Г - гамма-функция значения.

 

Примеры расчета задач

Задача 3.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром X = 2.5*10^-5 l/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t), q(t), f(t), τ  для t = 1000 час.

Решение. Вычислим вероятность безотказной работы:

Вычислим вероятность отказа:

q(1000) = 1 - p(1000) = 1 – 0,975 = 0,025.

Вычислим частоту отказов:

 

 

 Вычислим среднее время безотказной работы:

Задача 3.2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m = 8000 час, σ = 2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), λ(t), т для t = 10000 час.

Решение. Вычислим вероятность безотказной работы:

 

p(t) = 0.5 - Ф ₀ (1)= 0,159, q (t) = 0.5 + Ф ₀ (1) = 0,841.

 

Определим частоту отказа:

 

Рассчитаем интенсивность отказов:

Среднее время безотказной работы элемента: τ = m = 8000 час.

3 Контрольные вопросы и задания

1. Перечислите теоретические законы распределения наработки до отказа.

2. Запишите функцию распределения наработки до отказа при нормальном и экспоненциальном распределениях.

3. Каким образом выглядит соотношение между плотностью распределения и интенсивностью отказов при экспоненциальном законе наработки объекта до отказа?

4. Наработка системы до отказа описывается экспоненциальным распределением с параметром X = 3*10^-4 ч^-1. Определить вероятность безотказной работы и плотность распределения при t = 4000 час, а также среднюю наработку до отказа.

5. Наработка до отказа системы описывается нормальным распределением с параметрами m = 4000 час, а = 1000 час. Определить вероятность безотказной работы, плотность распределения, интенсивность отказов для t = 2000 час и среднюю наработку до отказа.