Задания практической работы №2.

1. Ознакомьтесь с содержанием статьи Л. Денищевой и К. Краснянской «Работа над ошибками по теории вероятностей и статистике». Какие рекомендации по изучению раздела «Теория вероятностей и статистика» дают авторы?

2. Сформулируйте проблемы, которые, по Вашему мнению,  возникают при изучении элементов комбинаторики, математической статистики и теории вероятностей в школе.

Проблемы при изучении элементов комбинаторики, математической статистики и теории вероятностей в СПО:

- Низкая математическая подготовка обучающихся.

- Неумение пользоваться математическими понятиями с реальными объектами

- Большинство обучающихся не могут самостоятельно справиться с решением комбинаторных задач
Определите, знание каких определений, формул, правил, теорем необходимо применить для решения следующих задач:

2.1. На вершину горы ведёт 6 маршрутов. Сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё? Ответьте на этот вопрос также при условии, что подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам.

2.2. Из 12 букв русского алфавита и цифр нужно составить автомобильные номера. В номере сначала буква, затем три цифры (кроме 000) и еще две буквы. Сколько существует вариантов?

2.3. На полке лежат 14 учебников, из них 9 – по математике. Студент берет наудачу 3 учебника. Какова вероятность того, что взяты учебники по математике?

2.4. Оператор справочной службы в течение рабочего дня (9.00-17.00) разговаривает по телефону в среднем 6 ч. Оцените вероятность того, что, если позвонить в справочную в это время, телефон окажется свободным.

2.5. Сколько трехбуквенных словосочетаний можно составить из букв слова «эскиз»? (Буквы могут повторяться).

2.6. Набирая номер телефона своего товарища, Николай забыл последнюю цифру. Какова вероятность того, что он с первой попытки наберет правильный номер?

2.7. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1. Для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

2.8. Агентство по страхованию автомобилей разделяют водителей по 3 классам: класс (Н1) - мало рискует, класс (Н2) - рискует средне, класс (Н3) - рискует сильно. Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших авто 30% - это класс (Н1); 50%- это класс (Н2); 20%-это класс (Н3). Вероятность того, что в течение года водитель класса (Н1) попадет хотя бы в одну аварию = 0,01, для водителя класса (Н2) вероятность = 0,02, для водителя класса (Н3) вероятность = 0,08. Водитель (А) страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу (Н1).

2.9. Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что а) все три стрелка промахнулись; б) только один стрелок промахнулся; было не менее двух попаданий.

2.10. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплёте. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте.

2.11. В темном погребе шесть банок с вареньем. Половина из них – с малиновым, а половина – с вишневым. Дедушка достал наугад две банки из погреба, какова вероятность того, что обе банки оказались с вишневым вареньем?

2.12. В прямоугольнике со сторонами 6 и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника: а) не принадлежит ни одному из этих кругов; б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

2.13. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,2. Какова вероятность того, что сообщение из пяти знаков содержит: а) три неправильных знака; б) не менее трех неправильных знаков.

2.14. Точку наудачу бросают в квадрат, длина стороны которого равна 1. Какова вероятность события, состоящего в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем 1/4?

2.15. Отрезок АВ разбит точками С и D на три равные части так, что точка С лежит между точками А и D. Случайным образом точку Х бросают на отрезок АВ. Найдите вероятность того, что точка Х принадлежит отрезку СD.

 

 

Результат работы представьте в виде таблицы:

№ задачи	определения, формулы, правила, теоремы
3.1	Формула сочетания
3.2.	Комбинаторика. Правило умножения
3.3	Формула размещения
3.4	Формула нахождения вероятности
3.5	Формула размещения
3.6	Классическая вероятность
3.7	Формула Байеса.
3.8	Формула Байеса.
3.9	Теорема о сложении и умножении вероятностей
3.10	Теорема сложения. Сумма вероятности противоположных событий.
3.11	Формула сочетания
3.12	Знать определение геометрической вероятности выбора точки внутри фигуры на плоскости и прямой;
3.13	Формула Бепнулли
3.14	Знать определение геометрической вероятности выбора точки внутри фигуры на плоскости и прямой;
3.15	Знать определение геометрической вероятности выбора точки внутри фигуры на плоскости и прямой;

3. Найдите ошибку в решении задачи:

Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 3 часов, по крайней мере, 2-е нуждаются в общей чистке механизма?

Решение:

Из 20 часов по 3 можно выбрать 20!/(3!(20-3)! = 18*19*20/(1*2*3) = 1140 способами, а из 8 по 2 можно выбрать 8!/(2!(8-2)!) = 7*8/2 = 28 способами и из (20 – 8) по 1 можно выбрать 12!/(1!(12 – 1)!) = 12. Тогда вероятность того, что из 3 взятых наудачу часов 2-е нуждаются в общей чистке равна 28*12/1140 = 28/95.

Общее число способов извлечь трое часов из 20-ти

Событие А – по крайней мере двое из трех часов нуждаются в общей чистке механизма произойдет, если 2-е из 3-х или 3-е из 3-х нуждаются в общей чистке.

Число случаев, благоприятствующих событию А

Вероятность искомого события

Ответ: вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов, по крайней мере, двое нуждаются в общей чистке механизма 34,4%.

 

4. Решите задачи 3.2, 3.8, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14.

 

 3.2.  Из 12 букв русского алфавита и цифр нужно составить автомобильные номера. В номере сначала буква, затем три цифры (кроме 000) и еще две буквы. Сколько существует вариантов?

1. 12³ = 1728 – число комбинаций из 3букв с повторами

2. 10³ = 1000 – использование 10 цифр

3. 1000 – 1 = 999 (количество номеров за исключением 000)

4. 1728 * 999 = 1726272

3.8.  Агентство по страхованию автомобилей разделяют водителей по 3 классам: класс (Н1) - мало рискует, класс (Н2) - рискует средне, класс (Н3) - рискует сильно. Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших авто 30% - это класс (Н1); 50%- это класс (Н2); 20%-это класс (Н3). Вероятность того, что в течение года водитель класса (Н1) попадет хотя бы в одну аварию = 0,01, для водителя класса (Н2) вероятность = 0,02, для водителя класса (Н3) вероятность = 0,08. Водитель (А) страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу (Н1).

А = {водитель попадает в аварию}.

Н 1 = {водитель относится к 1 классу},

Н 2 = {водитель относится к 2 классу},

Н 3 = {водитель относится к 3 классу}.

Р(Н 1 ) = 0,3;

Р(Н 2 ) = 0,5;

Р(Н 3 ) = 0,2;

Р(А/Н 1 ) = 0,01;

Р(А/Н 2 ) = 0,02;

Р(А/Н 3 ) = 0,08;

P( A) = 0,3× 0,01+ 0,5× 0,02 + 0,2× 0,08 = 0,029 .

По формуле Байеса пересчитаем вероятности гипотез, после того, как событие А произошло:

P(H 1 | A) =		0,3× 0,01	= 0,1035 ;
		0,029

 

3.11.В темном погребе шесть банок с вареньем. Половина из них – с малиновым, а половина – с вишневым. Дедушка достал наугад две банки из погреба, какова вероятность того, что обе банки оказались с вишневым вареньем?

Сочетаний возможных по 2 из 6 всего 6!/(4!+2!)=15
а сочетаний по 2 банки с вишневым вареньем из 3 возможных 3!/(1!+2!)=3 то есть, есть всего 3 случая которые удовлетворяют условию из 15 возможных
ответ: вероятность 3/15=1/5=0,2

3.12.В прямоугольнике со сторонами 6 и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника: а) не принадлежит ни одному из этих кругов; б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Площадь прямоугольника 6 * 20 = 120 см².

Площадь каждого из кругов пR² = 3,14 * 1,5² = 7,065

а) Вероятность того, что случайно выбранная точка не попадает в площадь, занятую двумя непересекающимися кругами.

Р =  = 0,88225 (88,225%)

б) Вероятность того, что случайно выбранная точка не попадает в площадь, занятую одним кругом.

Р =  = 0,941125 (94,1125%)

3.13. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,2. Какова вероятность того, что сообщение из пяти знаков содержит: а) три неправильных знака; б) не менее трех неправильных знаков.

p=0,2;

q=1 – 0,2 = 0,8

n=5

m=3

3.14.Точку наудачу бросают в квадрат, длина стороны которого равна 1. Какова вероятность события, состоящего в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем 1/4?

S_{квадрата} = 1

Точка удалена от стороны квадрата не менее чем на ¼ если попала в закрашенную область.

S_{закрашенное} = S_{квадрата} – S_ABCD = 1 – ¼ =0,75

Если расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ¼, то

Р = 0,75/1 = 0,75