Основные виды задач линейного программирования

ТЕМА 2 ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Понятие линейного программирования

Основные виды задач линейного программирования

Формы записи задач линейного программирования

Каноническая форма ЗЛП

Понятие линейного программирования

Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения.

Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем.

Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования.

Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Основные виды задач линейного программирования

Задача линейного программирования – это задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений на аргументы.

Задачи линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами.

Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений на элементы решений.

Виды задач линейного программирования

задачи об использовании ресурсов

задачи составления рациона

задачи об использовании мощностей

задача о раскрое материалов

транспортная задача.

Имеется некий однородный груз, который нужно перевести с n складов на m заводов. Для каждого склада i известно, сколько в нём находится груза a_i, а для каждого завода известна его потребность b_j в грузе. Стоимость перевозки пропорциональна расстоянию от склада до завода (все расстояния c_ij от i-го склада до j-го завода известны). Требуется составить наиболее дешёвый план перевозки.

Решающими переменными в данном случае являются x_ij — количества груза, перевезённого из i-го склада на j-й завод. Они удовлетворяют ограничениям:

Целевая функция имеет вид: , которую надо минимизировать