Анализ ограничений по ресурсам.

Здесь возможны три случая анализа:

а) ограничений, по которым нет резерва;

б) ограничений, по которым есть резерв;

в) общий, когда одновременно могут изменяться несколько или все правые части системы ограничений.

Случай а). Пусть ресурс b_i расходуется полностью, т. е. его дополнительная переменная х*_m+i равна нулю, двойственная оценка y_i положительна.

В примере такими ресурсами будут первый и второй. Изменим, например, первый ресурс b₁ на ∆b₁. При этом первое ограничение примет вид:

+∆b₁.

Решив задачу, в которой, в отличие от исходной, правая часть первого ограничения заменена на 4800 + ∆b₁, получим последнюю симплексную:

В последней таблице изменился только столбец свободных членов. Его элементы равны исходным значениям свободного члена, сложенным с произведением соответствующего элемента столбца дополнительной переменной х₅ на приращение ∆b₁ т. е.

Чтобы решение, представленное в таблице, было опорным, необходимо выполнение системы неравенств:

Отсюда находим пределы изменения: –4 000≤ ∆b₁ ≤1 600.

Пределы изменения ресурса b₁, при которых сохраняется структура оптимального плана:

minb₁ = b₁+min∆b₁= 4 800 —4 000=800;

max∆b₁ =b₁ + max ∆b₁ = 4 800+1 600= 6 4000.

800≤ ∆b₁ ≤6 400.

Следовательно, в пределах [b_i+min∆b_i, b_i + max ∆b_i] сохраняется структура оптимального плана, т. е. для примера по-прежнему следует выпускать продукцию 3-ю и 4-ю. Однако значения координат оптимального плана и целевая функция изменятся. Как видно из таблицы, объем продукции 3 увеличится на 0*∆b₁ продукции 4 — на 1/8∆b₁. При этом уменьшится резерв по третьему ресурсу на 1/8∆b₁, и возрастет значение целевой функции —на 15∆b₁.

Нетрудно представить в общем виде зависимости для изменения ограниченных ресурсов, которые расходуются полностью и в пределах которых сохраняется структура оптимального плана. Обозначим полностью используемый в оптимальном плане ресурс через i₀. Ему соответствует дополнительная переменная х*_m+i0=0.

Тогда

;

Для b_{i 0} установим

min b_{i 0} = b_{i 0} + min b_{i 0}

max b_i0 = b_i0 +mах b_i0

min b_i0 < b_i0 <mах b_i0.

;

.

Пределы изменения ограничений по ресурсам одновременно станут и пределами устойчивости двойственных оценок. При изменении дефицитного ресурса b_ia в пределах [min b_ia; mах b_ia] сохраняются структура оптимального плана, значения основных и дополнительных двойственных оценок; значения же основных и дополнительных базисных переменных изменяются по формулам:

.

Случай б). Ресурс b_i0 полностью не расходуется, т. е. его дополнительная переменная x_m+i является базисной. В данном примере такой ресурс третий (х₇ = 200). Дополнительная переменная х₇ показывает, что в оптимальном плане 200 единиц ресурса не использовано. Как и в первом случае, заменим в третьем ограничении правую часть b₃ на b₃+ ∆b₃.

Решив новую задачу при неизменных значениях остальных параметров, составим таблицу:

Решение будет оставаться опорным оптимальным при условии: 200+∆b3 ≥ 0.

Отсюда

(-200)<∆b₃<+∞. Т.е. 2200<∆b₃<+∞.

При изменении b₃ в этих пределах сохраняется оптимальный план. Единственная изменяющаяся величина — дополнительная переменная по этому ресурсу.

В общем виде пределы изменения ресурса, по которому имеется резерв, опре­деляются формулами

Случай в). Пусть одновременно изменяются все правые части системы ограничений. В исходной задаче заменим b_i, i=1,m, на b_i+∆ b_i.

Решив новую задачу, построим последнюю симплексную таблицу:

Чтобы полученное решение было оптимальным опорным, необходимо соблюдение условий:

Эта система неравенств определяет взаимосвязанные пределы изменения ресурсов.