Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований.

A ФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

Определение аффинных преобразований.

Пусть в плоскости задана произвольная аффинная система координат Ое₁е_2. Если, наряду с этой («старой», или «исход­ной») системой координат, задать также совершенно произвольную «новую»  аффинную координатную систему Ое₁е_2.,то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке М плоскости ставится в соот­ветствие точка М', которая в новой координатной системе имеет те самые координаты, какие точка М имела в старой системе. Преобразование, которое может быть задано этим способом, называется аффинным.

Замечание 1. Если исходный репер считать раз навсегда данным, то возможные аффинные преобразования плоскости взаимно однозначно соответствуют различным реперам Ое₁е_2., которые можно выбрать на плоскости (соответ­ственно в пространстве). Тем из этих реперов, которые одноименны с исходным, соответствуют аффинные преобразования, называемые собственными; реперы, не одноименные с исходным репером, опреде­ляют несобственные аффинные преобразования.

Замечание 2. Совершенно так же, как мы определяли аффин­ное преобразование плоскости (т. е. аффинное взаимно однозначное отображение плоскости на себя), мы можем определить взаимнооднозначное аффинное отображение одной плоскости π на другую плоскость π’: для того чтобы задать такое отображение, надо взять два репера: репер Ое₁е₂ в плоскости π и репер Ое₁е₂ в плоскости π '.

Определяемое этими данными отображение — аффинное отображе­ние плоскости π на плоскость π '- состоит в том, что каждой точке М плоскости π ставится в соответствие та точка М' плоскости π ', которая относительно репера Ое₁е₂ имеет те же самые координаты, которые точки М имели относительно репера Ое₁е_2.

Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований.

Возьмем на плоскости какой-нибудь вектор М₀М₁. При аффинном преобразовании точки М₀, М₁ переходят соответственно в точки М₀', М₁′, имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки М₀, М₁ имели относительно старого. Так как координаты вектора получаются вычитанием координат его начальной точки из координат его конца, то координаты вектора М₀М₁ относительно нового репера те же, что и координаты вектора М₀М₁ относительно старого репера. Итак:

1.При аффинном преоб­разовании вектору u= М₀М₁ ставится в соответствие век­тор и' = М'₀М₁′, имеющий от­носительно нового репера те же координаты, которые вектор u имел относитель­но старого.

Отсюда сразу следует, что при аффинном преобра­зовании равным векторам соответствуют равные, так что:

2. Аффинное преобразование плоскости порождает взаимно однозначное отображение на себя (преобразование) много­образия V всех свободных векторов плоскости.

Это преобразование обладает следующим свойством линейности: если при данном преобразовании векторам u, v соответствуют векторы u', v', то вектору и u+v будет соответствовать вектор u'+v', а век­тору λu- вектор λu'

Из свойства линейности вытекает, далее:

3.Еcли при данном аффинном преобразовании векторам u₁,…,u′_n соответствуют векторы u′₁, . . ., u'_n, то всякой линейной комбинации λ₁u₁+λ₂ u₂+…+λ_nu_n векторов u₁,…,u_n соответствует линейная комбинация

λ₁u′₁+λ₂ u′₂+…+λ_nu′_n

векторов u'₁, ... , u'_n (с теми же коэффициентами λ₁ , λ₂, ... ,λ_n).

Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нулевой, то из доказанного следует:

4. При аффинном преобразовании линейная зависимость векторов сохраняется (и, значит, всякие два коллинеарных вектора переходят в коллинеарные)

5. Обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.

В самом деле, если данное аффинное преобразование Аплоскости задается переходом от репера Ое₁е₂ к реперу О′е₁′е₂′, то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера О′е₁′е₂′, к реперу Ое₁е₂, есть как легко видеть преобразование, обратное данному преобразованию А.

Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зависи­мость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независимость векторов:

6. При аффинном преобразовании А всякая линейно независимая

система векторов u₁, u₂,… переходит в линейно независимую – в противном случае при аффинном преобразовании А^-1 обратном к А, линейно зависимая система u₁′, u₂′,… перешла бы в линейно неза­висимую, что, как мы знаем, невозможно.

Так как репер есть система линейно независимых векторов  приложенных к данной точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер переходит в репер. Более того, имеет место предложение

7. При аффинном отображении (заданном переходом от репера I реперу I′) всякий репер II переходит в репер II' и всякая точка М (всякий вектор u) переходит в точку М' (в вектор u') с теми же координатами относительно репера II', какие точка М и вектор u имели  относительно репера II.

Доказательство. Пусть II есть репер Оε₁ε_2,а  II' — репер О′ε₁′ε₂ ′.Докажем сначала утверждение, касающееся векторов. Если вектор u имеет относительно репера Оε₁ε₂ координаты ξ,η,то u=ξ ε₁′+η ε₂ ′. Но тогда образ вектора и есть, по свойству 3, вектор

u′= ξ ε₁′+η ε₂ ′,

имеющий координаты ξ, η относительно репера О′ε₁′ε₂ ′. Пусть точка М имеет координаты ξ, η относительно репера Оε₁ε₂.Тогда oM= ξ ε₁+η ε₂, так что, по предыдущему, относительно репера О′ε₁′ε₂ ′ вектор о'М', а значит, и точка М' имеют координаты ξ, η. Утвер­ждение доказано.

Доказанное утверждение является существенным: из него сле­дует, что, задав аффинное преобразование переходом от какого-нибудь репера Oe₁e₂ к реперу О′ε₁′ε₂ ′, мы можем задать его, взяв в качестве исходного любой репер Оε₁ε₂ и указав тот репер О′ε₁′ε₂ ′, в который он должен перейти.

В качестве приложения только что сделанного замечания дока­жем, что произведение двух аффинных преобразований А₁ и А₂ есть аффинное преобразование.

В самом деле, пусть аффинное преобразование А₁ задается переходом от репера I к реперу II. Аффинное преобразование А₂ мы можем, по только что доказанному, задать переходом от репера II к какому-то реперу III. Тогда аффинное преобразование, зада­ваемое переходом от репера I к реперу III, есть, очевидно, произ­ведение А₂А₁ преобразования А₁ на преобразование А₂.

Три точки M_l М₂ М₃ тогда и только тогда, когда  коллинеарны (т. е.

лежат на одной прямой), когда векторы М₁М₂ и М₂М₃ коллинеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность точек. Отсюда вы­текает:

8. При аффинном отображении прямая переходит в прямую.

Мы сейчас дадим второе доказательство этого факта.

Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в том, что каждая точка М с координатами х, у (в координатной системе Oe₁e₂) переходит в точку М', имеющую те же координаты во второй системе О′е₁′е₂′. Отсюда следует:

9. При данном аффинном отображении (определенном переходом от репера Ое₁е₂ к реперу О′е₁′е₂′) множество всех точек, координаты которых (в координатной системе Ое₁е₂) удовлетворяют некоторому уравнению, переходит в множество точек, координаты которых в системе О′е₁′е₂′ удовлетворяют тому же уравнению.

В частности, прямая с уравнением

Ах + Ву + С = 0

(в системе Ое₁е₂ перейдет в прямую, имеющую то же уравнение, но только в системе координат О'е'₁е'₂.

Теорема 1. При аффинном преобразовании плоскости прямые переходят в прямые, плоскости пере­ходят в плоскости.

При этом сохраняется параллельность.

В самом деле, если две прямые параллельны, то их уравнения относительно репера Ое₁е₂ удовлетворяют известным условиям параллельности; но образы этих прямых имеют те же уравнения относительно репера О'е'₁е'₂ и, значит, удовлетворяют тем же условиям параллельности.

Теорема 2. При аффинном преобразовании плоскости, переводящем прямую d в прямую d′, отрезок М₀М₁ прямой d переходит в отрезок М'₀М₁′ прямой d', а точка М прямой d, делящая отрезок М₀М₁ в данном отношении λ переходит в точку М' прямой d', делящую отрезок М'₀М₁′ в том же отношении λ.

 Доказательство. Так как при положительном λ мы получим точки, лежащие внутри отрезка М₀М₁(соответственно М₀′ М₁′), а при отрицательном – вне отрезка, то из второго теоремы 2 следует первое. Доказываем второе утверждение теоремы 2. Пусть в системе координат Ое₁е₂ имеем М₀=(x₀,y₀),

М₁=(x₁,y₁), М=(x,y). Так как точка М делит отрезок М₀М₁ в отношении λ, то

;           (1)

При данном аффинном преобразовании точки  М₀, М₁,М перейдут в точки М₀′ , М₁′, М′ с теми же координатами, что и у точек М₀, М₁,М, но только в координатной системе О'е'₁е'₂. Эти координаты по-прежнему связаны соотношениями (1), из которых следует, что М′ делит отрезок М₀′ М₁′ в отношении λ. Этим теорема доказана.