Множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое .

Учебный год

1 Понятие множества. Отношения включения и равенства множеств.

Множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое .

Определение 5 : Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Утверждение, что множество В является подмножеством множества А, записывают так: ВÌА. Такая запись означает, что каждый элемент множества В является элементом множества А и множество В включено во множество А.

Пример 3. Пусть В {2, 4, 6} – множество чётных чисел, А{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – множество целых чисел. Следовательно, множество В включено во множество А, что записывается так: ВÌА, но множество А не включено во множество В, что записывается так: А Ë В. Например, множества {4, 8} и {6} являются подмножествами множества {2, 4, 6, 8}; а числа 2, 4, 6, 8 – его элементы.

Свойства включения множеств:

1.Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А.

2.Любое множество является подмножеством самого себя, т.е. для любого множества А справедливо включение А Í А.

Определение 6: Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого (A = B Û (A Ì B и В Ì А)). Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом порядок перечисления элементов множества значения не имеет. Например. Равны множества {8,2,5}, {2,5,8} и {5,8,2}.

Если множество X равно множеству Y, то можно записать X = Y. В противном случае X ≠ Y. Другой пример. Даны множества: Z ={3,5,7}, Y = {7,5,3,5,7}. Они равны Z=Y, так как они состоят из одних и тех же элементов. Множество Z={3,5,7}, X={{7,5}, {3,5,7}} не равны Z≠X, так как элементами второго множества являются множества. Таким образом, данные множества состоят из элементов различной природы и не могут быть равны.

Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. У любого множества есть обязательно хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.

У пустого множества нет собственных подмножеств, а оба несобственных подмножества равны между собой. У любого одноэлементного множества также нет собственных подмножеств, но его несобственные подмножества различны. У любого двухэлементного множества есть уже два собственных подмножества. С ростом количества элементов во множестве количество собственных подмножеств растет. Например, если F={3,5}, то собственными подмножествами множества F будут являться множества {3} и {5}.

 

2 Операции над множествами и их свойства.

 

Известно, что над числами можно производить следующие элементарные операции: сложение, умножение, вычитание. Над множествами вводятся аналогичные операции. Определение 8: Объединением двух множеств называется третье множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается: AÈB = {x÷ xÎA или xÎB}. Пример 4. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АÈВ = {1,2,3,4,5}. Таким образом, если элемент x принадлежит объединению АÈВ, то он может принадлежать или множеству А, или множеству В, или обоим этим множествам. Можно сформулировать иначе: x Î АÈВ тогда и только тогда, когда х есть элемент хотя бы одного из этих множеств. В последнем примере числа 1, 2 принадлежат множеству А. Числа 4, 5 принадлежат множеству В, число 3 принадлежит обоим множествам сразу. Графически объединение множеств А и В можно представить на рис. 2.1.   Рис. 2.1. Объединение множеств А и В Определение 9: Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Пересечение множеств обозначается: AÇB = {x÷ xÎA и xÎB}. Пример 5. Пусть даны множества: А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда: АÇВ = {3}. В результате можно сделать вывод, что: · Пересечение множеств А и В включено во множество А, что записывается: AÇBÌA. · Пересечение множеств А и В включено во множество В, что записывается: AÇBÌB. · Пересечение множеств А и В включено в объединение множеств, что записывается:AÇBÌAÈB. Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. В этом случае множества не пересекаются и их пересечение – пустое множество. Пример 6. Пусть А = {7,9,5}, В = {2, 4,6}. Тогда АÇВ =Æ. Пересечение множеств А и В графически можно представить на рис. 2.2 (затенённая область).   Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В Свойства пересечения множеств: 1. AÇÆ=Æ. 2. AÇA=A. 3. AÇB=BÇA. 4. AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC=AÇBÇC. 5. AÌBÛAÇB=A. Определение 10: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В. Обозначается: A\B = {x÷ xÎA ; xÏB}. Пример 7. Пусть А = {1, 2, 3, 4}; В = {3, 4, 5, 6}. Тогда А\В = {1, 2}; В\А= {5, 6}. Разность множеств А и В графически можно представить на рис. 2.3 (затенённая область):   Рис. 2.3. Разность множеств А\В Если рассматриваемое множество В является подмножеством некоторого фиксированного множества А, то разность А\В называется дополнением множества В или дополнением до А множества В. Определение 11: Разбиением множества Х называется такая расчленённая система Y непустых подмножеств множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом некоторого множества системы Y. Пример 8. Множество Y={{7,5}, {3,4}, {9,6}, {17,8}} есть результат операции разбиения множества X = {7, 5, 3, 4, 9, 6, 17, 8}. Данная операция позволяет образовать новое множество Y из одного существующего множества X. Можно выделить такое множество, что все рассматриваемые предметы являются его элементами. Такое множество называется универсальным. Обычно универсальное множество обозначается через U. Дополнением множества А называется множество`А, состоящее из элементов множества U, не являющихся элементами множества А: `А ={x | xÎU;xÏA}. На диаграммах универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника (рис. 2.4).   Рис. 2.4. Универсальное множество U Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А. Обозначается:`A=U\A (затенённая область рис. 2.5).   Рис. 2.5. Разность U\A       Свойства операций над множествами:   П р и м е р ы. 1. Множество детей является подмножеством всего населения.   2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло- жительных чисел является множество натуральных чисел.   3. Объединением множества рациональных чисел с множест- вом иррациональных чисел является множество действи- тельных чисел.   4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел

 

3 Понятие функции. Отображение множеств.

4 Нечёткие множества. Разбиение множества на классы.

5 Бинарные отношения. Отношение эквивалентности.

6 Высказывания и операции над ними.

7Тавтологии.

8 Матрицы. Виды матриц: квадратная и диагональная матрицы; нулевая и единичная матрицы.

9 Линейные действия над матрицами: сумма и разность матриц, умножение матрицы на число.

10 Умножение матриц. 

11 Определители второго и третьего порядков. Свойство определителей.

12 Минор. Алгебраическое дополнение.

13 Понятие числовой функции.

14 Понятие предела функции, его геометрический смысл.

15 Односторонние пределы.

16 Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

17 Основные теоремы о пределах функций.

18 Непрерывность функции в точке.

19 Арифметические операции над непрерывными функциями.

20 Точки разрыва функции, их классификация.

21 Непрерывность функции на промежутке.

22 Свойства функций, непрерывных на отрезке.

23 Понятие производной. Физический смысл производной.

24 Геометрический смысл производной.

25 Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

26 Основные правила дифференцирования.

27 Производная сложной функции.

28 Достаточное условие возрастания и убывания функции на интервале.

29 Признаки постоянства, возрастания и убывания функций.

30 Максимум и минимум функции.

31 Необходимое условие экстремума.

32 Достаточное условие экстремума.

33 Направления выпуклости кривой.

34Точки перегиба кривой.

35 Асимптоты кривой.

36 Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то в этом интервале существует хотя бы одна точка x=ξ, такая, чтоf(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).Данная теорема называется также формулой конечных приращений, поскольку она выражает приращение функции на отрезке через значение производной в промежуточной точке этого отрезка.

Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функциюF(x)=f(x)+λx.Выберем число λ таким, чтобы выполнялось условие F(a)=F(b). Тогдаf(a)+λa=f(b)+λb,⇒f(b)−f(a)=λ(a−b),⇒λ=−f(b)−f(a)b−a.В результате получаемF(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−ax.Функция F(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает одинаковые значения на концах интервала. Следовательно, для нее выполнены все условия теоремы Ролля. Тогда в интервале (a,b) существует точка ξ, такая, чтоF′(ξ)=0.Отсюда следует, чтоf′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0илиf(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Хорда, проходящая через точки графика, соответствующие концам отрезка a и b, имеет угловой коэффициент, равныйk=tanα=f(b)−f(a)b−a.Тогда внутри отрезка [a,b] существует точка x=ξ, в которой касательная к графику функции параллельна хорде (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2 Жозеф Луи Лагранж (1736-1813)

Теорема Лагранжа имеет также наглядную физическую интерпретацию. Если считать, что f(t) описывает координату тела при перемещении вдоль прямой в зависимости от времени t, то отношениеf(b)−f(a)b−aпредставляет собой среднюю скорость тела в промежутке времени b−a. Поскольку f′(t) − это мгновенная скорость, то данная теорема означает, что существует момент времени ξ, в который мгновенная скорость равна средней скорости.

Теорема Лагранжа имеет множество приложений в математическом анализе, вычислительной математике и других областях. Укажем далее два замечательных следствия.

Следствие 1.
В частном случае, когда значения функции f(x) на концах отрезка [a,b] равны, т.е. f(a)=f(b), из теоремы Лагранжа вытекает, что найдется точка ξ∈(a,b), такая, чтоf′(ξ)=f(b)−f(a)b−a=0,т.е. мы получаем теорему Ролля, которую можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.

Следствие 2.
Если производная f′(x) равна нулю во всех точках отрезка [a,b], то функция f(x) является постоянной на этом отрезке. Действительно, для любых двух точек x1 и x2 из промежутка [a,b] существует точка ξ∈(a,b), такая, чтоf(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)=0⋅(x2−x1)=0.Следовательно,f(x1)=f(x2).

37 Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида

{\displaystyle 0/0}

и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

 

38 Первообразная функции.

39 Неопределённый интеграл и его свойства.

40Таблица основных неопределённых интегралов.

41 Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл.

42 Основные свойства определённого интеграла.

43 Формула Ньютона-Лейбница.

44 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

45 Математическая модель демографического процесса.

46 Понятие дифференциального уравнения. Решение: общее, частное, особое.

 47 Теорема Коши.

48 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

49 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

50 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

51 Основные правила комбинаторики.

52 Перестановки, размещения, размещения с повторениями.

53 Сочетания и их свойства.

54 Задача о количестве подмножеств множества.

55 Пространство элементарных событий. Событие: невозможное, достоверное, случайное. Действия над событиями.

56 Понятие вероятности события: классическое определение вероятности, её свойства.

57 Геометрическая вероятность.

58 Условная вероятность и независимость событий.

59 Теорема сложения вероятностей.

60 Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность.

61 Вероятность появления хотя бы одного события.

62 Формула полной вероятности.

63 Формулы Байеса.

64 Схема независимых испытаний Бернулли.

65 Случайные величины и функции распределения случайных величин.

66 Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.

67 Числовые характеристики дискретных случайных величин.

68 Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей, функция распределения вероятностей.

69 Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

70 Нормальный закон распределения.