Математика как наука и как учебный предмет

 

По определению данным Ф. Энгельсом: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные соотношения действительного мира… Как и все другие науки математика возникла из практической деятельности людей: из измерения площадей земельных участков и вместительности сосудов, из счисления времени в механике».

Чтобы изучить количественные отношения и пространственные формы в чистом виде, математики абстрагируется от их вещественного содержания. Математики безразлично из какого материала сделан мир. Ей важно, что существуют или осуществимы тела, которые имеют форму шара, которые она изучает. Также безразлично исследование какого процесса природы привело к необходимости рассматривать некоторую функцию. Для математики это функция важна сама по себе.

«Математика» – слово, пришедшее к нам из Древней Греции, в переводе означает «познание, наука». В истории развития математики выделяют четыре основных периода:

период зарождения математик, который характеризуется накоплением первоначальных фактов (практические вычисления и измерения, формирование понятий числа и фигуры; появляются арифметика и геометрия как эмпирически установленные правила решения практических задач); заканчивается созданием геометрии Евклида.

период элементарной математики. Начало положили математики Древней Греции (VI-V в. до н.э.); Математика – научная дисциплина с предметом исследования – число и фигура и собственными методами исследования. Появляется дедуктивный метод.

Период создания математики переменных величин (17-19 вв.)

современный период – математика переменных отношений, которые характеризуются возросшей ролью абстрактных математических построений с широким использованием метода моделирования; формируется аксиоматический метод. Период современной математики характеризуется глубокими изменениями во всех основных разделах.

Рассмотрим это на примере геометрии.

Если прежде геометрия изучала только пространственные органы и отношения материального мира, то теперь ее предмет составляет многие другие формы и отношения, лишь сходные с пространственными, и, поэтому допускающие использование геометрических методов. Предмет пространство приобрел новый, более широкий, но в то же время специфический смысл. Сами методы геометрии стали более богатыми и разнообразными. Развитие геометрии продолжается в разных направлениях. Предметом ее рассмотрения служат все новые и новые пространства: проективное, Риманово и т.д. существенное расширение предмета, характерное для современной математики выводит ее за рамки первоначального понимания количественных отношений и пространственных форм. Фигуры многомерных пространств – это не фигуры и формы пространства, как мы их понимаем, а абстрактные пространства математики.

Другим предметом выхода математики за предел может служить возникновение математической логики. Она изучает: какие предложения можно выводить из данных посылок данными средствами. Отношения между посылками и средствами аксиомами и теоремами не сводятся к количественным отношениям в обычном смысле. Они лишь сходны с количественными и эти сходства открыли возможность применения математических методов их исследования.

Определение Энгельса применимо и к предмету современной математике, если содержащиеся в нем выражения: количественные отношения и пространственные формы понимать в более широком смысле, чем оно понималось в период классической математики (включая в этот смысл отношения и формы лишь сходные с количественными отношениями и формами). Это сходство состоит в том, что некоторые отношения и формы действительности объективно обладают такой же степенью безразличия к содержанию, как и количественные отношения и пространственные формы. И так же, как и последние могут быть отвлечены от содержания и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории. Если такие отношения и формы назвать количественными, то придем к определению Энгельса.

Развитие человеческого общества невозможно без передачи определенных знания и опыта предшествующих поколений. Поэтому школьная математика должна давать представление о науке в целом, о математических методах в приложениях, способствовать развитию математического мышления. Содержание учебного предмета математики изменяется, так как появляются требования к школьной подготовке возникают тенденции к усилению общего развития учащихся, меняется познавательное значение и прикладная ценность отдельных ее разделов, совершенствуются методики математики, учитывающая достижения передового опыта преподавателя.

В настоящее время учебные программы по математике в школе включают:

начальный курс – 1-4 классы;

I ступень – 5-6 кл. в данный математический курс, «Математика», включающий арифметику и начала алгебры и простейшие геометрические понятия, построения т.е. пропедевтические курсы алгебры и геометрии.

II ступень – 7-9 кл. Изучающие два предмета: систематический курс алгебры и систематический курс геометрии (планиметрия);

III ступень – 10-11 кл. продолжают изучать систематический курс геометрии (стереометрия) и изучает систематический курс «Алгебра и начала анализа», включающий:

арифметику (учение о числе);

алгебру (тождественные преобразования, уравнения и неравенства);

математический анализ (функции, производные);

аналитическую геометрию (метод координат).

Такое соединение различных математических дисциплин в школьном курсе обусловлено тем, что

в учебном предмете должны быть достаточно полно представлены основы современной науки, причем в доступной для учащихся форме;

между различными разделами науки, представленными в учебном предмете, должны существовать определенная взаимосвязь, обеспечивающая их систематическое изучение.

4. Цели и содержание обучения математики

Цели и содержание математического образования зафиксированы в учебных программах, учебниках и учебных пособиях по математике. Постоянное развитие общества приводит к периодическому пересмотру целей и содержание образования в соответствии с поставленными обществом требованиями.

Исходя из общих целей средней общеобразовательной школы, из специфики математики как науки, ее роли и места в современной системе наук, в технике и производстве, ее значение в жизни современного общества, определяются цели обучения математике в средней общеобразовательной школе.

Цели – это планируемые результаты обучения, на достижение которых будет направлена совместная деятельность учителя и ученика в процессе обучения математике.

Комплексное осуществление образования, воспитания и развития учащихся в общеобразовательной школе выделяет три функции обучения и три группы целей: общеобразовательные, воспитательные и развивающие.

Общеобразовательные цели:

Математика является одним из опорных предметов средней школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин: физики, химии, основ информатики и вычислительной техники и т.д. Математические знания, умение и навыки необходимо для трудовой и профессиональной подготовке школьников. Образовательные функции обучения математике выступает как главное и определяемая. Школьный курс математики обязан:

– обеспечить прочное и осознанное овладение учениками системой математических знаний, умений и навыков, определенных школьной программой;

– вооружить учеников доступными для них математическими методами познания действительности;

– содействовать политехническому образованию учащихся (раскрывать идеи применения математики в решении тактических задач, формировать умение и навыки по обращению с приборами, инструментами, таблицами, с учебной и справочной литературой, воспитывать алгоритмическую культуру и знакомить учеников с современной вычислительной техникой и т.д.)

Воспитательные цели:

Воспитательный характер обучения объективная закономерность. Реализация образовательной и воспитательной функции осуществляется в процессе обучения математике в единстве. Исходя из возможностей предмета, математика вносит свой вклад в формирование мировоззрения, моральное трудовое и эстетичное воспитание учеников. Воспитательные цели обучения математике сводятся к следующему:

– формирование у школьников правильного представления о природе математики, сущности и происхождения математических абстракций, характере отображения математической наукой явлений и процессов реального мира, месте математики в системе наук и роли математического моделирования в научном познании;

– содействовать моральному воспитанию учеников, что означает развитие таких моральных черт личности как настойчивость, целенаправленность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, критичность мышления;

– проведение работы по трудовому воспитанию и профориентации учеников;

– осуществление эстетического воспитания: показывать внутреннюю гармонию математики, формировать понимание красоты и изящества логических доказательств, математических рассуждений; учить оценивать красоту постановки математической задачи, процесса ее решения и результатов; раскрывать связь математики с архитектурой, живописью, музыкой, скульптурой и др.

Развивающие цели:

В процессе обучения математике проводится систематическая и целенаправленная работа по общему развитию учащихся. Обучение и развитие – два взаимосвязанных процесса. Известно, что обучение ведет за собой развитие. Оно более успешно проходит в том случае, если несколько забегает вперед, ориентируясь на зону ближайшего развития ученика. Общими развивающими целями обучения математике являются:

– развитие познавательных интересов учащихся к математике;

– развитие таких способностей, как наблюдательность, представление, память, мышление, речь;

– формирование и развитие умений использовать рациональные приемы учебной работы (умение учится).

В процессе обучения важно добиваться математического развития школьников. Известный педагог С.И. Шварцбург выделяет следующие компоненты математического развитие учащихся:

– развитие пространственных представлений;

– умение выделять существенное, мыслить абстрактно;

– умение переходить от конкретной ситуации к ее математическому описанию;

– навыки дедуктивного мышления;

– умение анализировать;

– умение использовать знания при решении практических задач;

– критичность мышления;

– владение математической речью;

– терпение при решении задач.

По его мнению математическое развитие учеников не может быть обеспечено только программой, а необходимо настойчивая и очень хлопотливая работа учителя.

Термин «Элементарная математика» обозначает два различных понятия. С одной стороны, этим термином обозначают всю математику до 17 века, т.е. «Совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела и тем более общим понятием множества», иначе говоря, традиционная элементарная математика (ТЭМ), содержащая арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию и потому имеет лишь историческое значение. С другой стороны, элементарной математикой обозначают школьный предмет, т.е. совокупность математических дисциплин, изучаемых в средней школе, которая изменяется под влиянием развития математической науки и потребностей общества и обладает признаками:

элементарна в смысле начальной, составляющей основы современной математической науки;

элементарна в смысле достаточной простоты и доступности для учащихся средней школы. Другими словами, современная элементарная математика (СЭМ) – это не только и не столько традиционное содержание школьного курса математики, сколько то новое содержание, которое находится в стадии разработки и станет предметом будущей педагогической деятельности.

Проблема содержания обучения является самой сложной и важной проблемой школьного математического образования. Необходимо «отображать такой минимум знаний, который, является стабильным, политехнически ориентированным, включал бы воспитательный аспект и в тоже время был бы достаточным для дальнейшего пополнения знаний, для формирования современного научного стиля мышления и не приводил бы перегрузке учеников».

Содержание школьного курса математики определяется общими целями обучения, содержанием самой математической науки, значением математики и местом ее в системе среднего образования. Современное содержание общего среднего образования и учебных предметов представлены четырьмя видами.

В отношении к математике как учебному предмету это:

система теоретических, методологических, логических, межпредметных, прикладных, историко-научных знаний. Эти знания обеспечивают общее математическое и политехническое образование, является основой формирования мировоззрения;

 система обще-учебных, математических, интеллектуальных умений. Она обеспечивает учебную деятельность учеников, применение знаний на практике;

опыт творческой деятельности, накопленный практикой математического познания, необходимый для решения учебно-воспитательных задач, для творческого подхода к овладению математической и применения знаний и умений. Это важный элемент в воспитании творческой личности;

опыт эмоционально-целостных отношений к математическим знаниям, моральных норм, эстетических проявлений действительности.

Все эти четыре вида содержания обучения взаимосвязаны. Так, не зная формул объема пирамиды, нельзя практически найти его. Без умения выполнять вычисления, тождественные преобразования нельзя приобрести полноценных знаний об уравнениях. Тот ученик, который не владеет опытом творческой математической деятельности, обречен на копирование действий. Он не сможет решить нестандартную задачу, потому что не умеет переносить свои знания в новую ситуацию и т.д. И наконец, опыт эмоционально целостных отношений к действительности, которая стала объектом или средством деятельности, способствует формированию качеств личности школьника. Все эти виды содержания надо иметь в виду учителю при организации процесса обучения математике.

На сегодня общепризнанных критериев отбора основ наук нет, однако делаются попытки их сформулировать. Ю.К. Бабанский предложил следующие критерии оптимизации объема и сложности учебного материала:

целостности содержания, – это означает, что учебный предмет должен отражать все основные направления развития науки;

научной общепризнанности, по которому с некоторыми вопросами можно знакомить учеников, но в основу наук не включать;

научная значимость, которая отражает широту внедрения научных знаний. Они могут иметь всеобщий или частный характер;

соответствие возрастным особенностям ученика, которые тесно связаны с доступностью;

соответствие времени, отведенному на изучения учебного предмета;

соответствие международным стандартам, это означает, что учебные программы наших школ должны соответствовать лучшим мировым примерам аналогичных программ.

Современное содержание школьного курса математики получило научное обоснование. Несмотря на изменения, которые происходят в нем, на продолжении достаточно значительного отрезка времени оно сохраняет свое основное ядро:

числовые системы;

величины;

уравнения и неравенства;

тождественные преобразования математических выражений;

координаты;

функции;

геометрические фигуры и их свойства, измерение геометрических величин; геометрические преобразования;

векторы;

основы математического анализа.

Каждый раздел имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе.

Проекты модернизации школьного образования предмета для изучения:

элементарную теорию множеств;

введение в математическую логику;

понятия из современной алгебры (группы, кольца, поля и вектора);

введение в теорию вероятностей и статистику.

Модернизация математического образования означает приведение элементарной математики в соответствие с современными идеями, методами, требованиями. Движение за модернизацию математического образования началось более 100 лет тому назад. Однако целесообразней осовременивать преподавание математики, чем включать в программу новые разделы из современной математики, представляющие методические трудности в изложении.

Модернизация не означает отказа от всего традиционного, а лишь замену тех из них, которые потеряли в настоящее время смысл. Примером такой традиции может служить Евклидова система построения геометрии. Выделим причины, осложняющие ее модернизацию:

она громоздка и изолирует геометрию от остальной математики, и проникновение в нее современных идей;

необходимые для практики геометрические знания приобретаются в пропедевтическом курсе, построенном на использовании опыта и основанном на интуиции; в дальнейшем необходимо введение дедуктивного метода, способствующего развитию логического мышления;

психологический фактор (не приятие современного построения прежде всего учителями).

Заключение

Таким образом в процессе обучения математики в органичном единстве должны достигаться образовательные, воспитательные и развивающие цели. Учителю математики необходимо точно знать цели обучения в целом и в каждом классе отдельно, что поможет правильно определить цели изучения тем и уроков.

Проникновение математики в другие науки повлияло на формирование целей математического образования и привело к тому что владение математическими знаниями и методами в определенном объеме и специфическим языком математики стали обязательным элементом общей культуры. В процессе обучения математике необходимо формировать у учащихся научные мировоззрения и навыки мыслительной деятельности по добыванию новых знаний, усилить прикладное значение изучаемого теоретического материалы, привить учащимся навыки проведения логических рассуждений и выделения логических следствий, характерных дедуктивному мышлению.

Литература

 

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2.Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3.Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4.Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5.Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6.А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.