Избыточность сообщений

Свойства количества информации

 

1. Количество информации в сообщении обратно – пропорционально вероятности появления данного сообщения.

2. Свойство аддитивности – суммарное количество информации двух источников равно сумме информации источников.

3. Для события с одним исходом количество информации равно нулю.

4. Количество информации в дискретном сообщении растет в зависимости от увеличения объема алфавита – m.

Пример 1. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны: p_i0 = p_i1 = 1/2.

Количество информации равно:

I = n log m = 8 log₂ 2 = 8 бит .

Пример 2. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны:

p_i0 = 3/4; p_i1 = 1/4.

 

Количество информации равно:

 

Энтропия информации

Энтропия– содержательность, мера неопределенности информации.

Энтропия – математическое ожидание H(x) случайной величины I(x) определенной на ансамбле {Х, р(х)}, т.е. она характеризует среднее значение количества информации, приходящееся на один символ.

 

. (6)

Определим максимальное значение энтропии H_max(x). Воспользуемся методом неопределенного множителя Лагранжа -l для отыскания условного экстремума функции [6]. Находим вспомогательную функцию:

 (7)

 

Представим вспомогательную функцию F в виде:

 

. (8)

 

Найдем максимум этой функции

 

 т. к.

.

 

Как видно из выражения, величина вероятности p_i не зависит от i, а это может быть в случае, если все p_i равны, т.е. p₁ =p₂ =…=p_m =1/m.

При этом выражение для энтропии равновероятных, независимых элементов равно:

 

. (9)

 

Найдем энтропию системы двух альтернативных событий с вероятностями p₁ и p₂. Энтропия равна

Свойства энтропии сообщений

 

1. Энтропия есть величина вещественная, ограниченная, не отрицательная, непрерывная на интервале 0 £ p £ 1.

2. Энтропия максимальна для равновероятных событий.

3. Энтропия для детерминированных событий равна нулю.

4. Энтропия системы двух альтернативных событий изменяется от 0 до 1.

Энтропия численно совпадает со средним количеством информации но принципиально различны, так как:

H(x) – выражает среднюю неопределенность состояния источника и является его объективной характеристикой, она может быть вычислена априорно, т.е. до получения сообщения при наличии статистики сообщений.

I(x) – определяется апостериорно, т.е. после получения сообщения. С получением информации о состоянии системы энтропия снижается.

Избыточность сообщений

 

Одной из информационных характеристик источника дискретных сообщений является избыточность, которая определяет, какая доля максимально-возможной энтропии не используется источником

 

, (10)

где ? – коэффициент сжатия.

Избыточность приводит к увеличению времени передачи сообщений, уменьшению скорости передачи информации, излишней загрузки канала, вместе с тем, избыточность необходима для обеспечения достоверности передаваемых данных, т.е. надежности СПД, повышения помехоустойчивости. При этом, применяя специальные коды, использующие избыточность в передаваемых сообщениях, можно обнаружить и исправить ошибки.

Пример 1. Вычислить энтропию источника, выдающего два символа 0 и 1 с вероятностями p(0) = p(1) = 1/m и определить его избыточность.

Решение: Энтропия для случая независимых, равновероятных элементов равна: H(x) = log₂m = log₂2 = 1 [дв. ед/симв.]

При этом H(x) = H_max(x) и избыточность равна R = 0.

Пример 2. Вычислить энтропию источника независимых сообщений, выдающего два символа 0 и 1 с вероятностями p(0) = 3/4, p(1) = 1/4.

Решение: Энтропия для случая независимых, не равновероятных элементов равна:

 

 

При этом избыточность равна R = 1–0,815=0,18

Пример 3. Определить количество информации и энтропию сообщения из пяти букв, если число букв в алфавите равно 32 и все сообщения равновероятные.

Решение: Общее число пятибуквенных сообщений равно: N = mⁿ = 32

Энтропия для равновероятных сообщений равна:

H = I = – log ₂ 1/ N = log ₂ 32⁵ = 5 log ₂ 32 = 25 бит./симв.

Литература

1 Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

2 Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. – М.: Высш. шк., 1986.

3 Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. – М.: Связь, 1984.

4 Кудряшов Б.Д. Теория информации. Учебник для вузов Изд-во ПИТЕР, 2008. – 320 с.

5 Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. – М.: Высш. шк., 1986.

6 Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы матроиды, алгоритмы. – Ижевск: НИЦ «РХД», 2001, 288 стр.