Аппроксимации степенным полиномом

Введение

Дискретные динамические модели управляемых систем — это до­вольно важный в теоретическом и практическом отношении класс ма­тематических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Они возникают как вполне естественные при моделировании дискретных процессов, таких как задачи распределения ресурсов, обработка и пе­редача информации цифровыми электронными устройствами, либо опосредованно — при дискретизации непрерывных моделей для прак­тических расчётов или с целью учёта неоднородности их поведения, либо чисто искусственным путём при организации различных итера­ционных вычислительных процедур.

К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения задач оптимального управления. Од­нако подавляющее их большинство относится к системам с непрерыв­ным временем. Для систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Основная причина — отсутствие в общем случае дискретного аналога принци­па максимума Понтрягина для непрерывных систем, вокруг которого

долгое время группировались в основном теоретические работы в об­ласти оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом свидетельствуют из­вестные работы по дискретным системам [1-3] и др.

Значительно более продвинутыми оказываются результаты, осно­ванные на принципе оптимальности Беллмана и общих достаточ­ных условиях оптимальности Кротова [4]. К ним относятся усло­вия локальной оптимальности и итерационные методы улучшения В. И. Гурмана [5]. В то же время разработано мало эффективных методов синтеза оптимального управления для нелинейных дискрет­ных систем.

Данная работа посвящена приближённым методам синтеза за­конов оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова и глобальных оценок, которые не требуют априори хороших аналитических свойств исследуемых моделей.

Конкретно речь идет о следующих новых методах приближённо­го синтеза оптимального управления:

• метода полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллмана;

• метода траекторного восстановления функции цены.

В первом разделе описывается дискретная модель управляемой системы, рассматриваются ее методические преобразования, дается постановка общей задачи оптимального управления, в том числе, в форме синтеза.

Во втором разделе дается метод приближенного синтеза опти­мального управления, как одного из способов задания функции Кро- това на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана степен­ным полиномом, в том числе точечную интерполяцию и аппроксима­цию по методу наименьших квадратов.

В третьем разделе предлагается метод приближенного синтеза, основанный на восстановлении так называемой функции цены.

Обсуждаются их приложения к практическим задачам, в част­ности к задаче оптимизации пространственного маневра вертолета и задаче об оптимальной стратегии устойчивого развития.

Постановка задачи

Рассматривается дискретная задача оптимального управления [4] о минимуме функционала

N-1

I(x(i),u(i)) = F(x(N)) + ^ /⁰(i,x(i),u(i))

i=0

на множестве D, определенном следующими условиями:

(1)   x(i + 1) = / (i,x(i),u(i)), i = 0,1 ,...,N — 1,

x(i) e V_x(i) С Rⁿ, u(i) e V_u(i,x(i)) С R^r,

x(0) e V x(0), x(N) e Vx(N).

В соответствии с теорией Кротова, с помощью произвольной функ­ции p ( i , x ), строятся следующие конструкции:

R(i, x, u) = p(i + 1, /(i, x, u)) — p(i, x) — / о (i, x, u), G(x(0),x(N)) = F(x(N)) + p(N, x(N)) — p(0, x(0)),

P(i,x)= sup R(i,x,u), p(i) = sup P(i,x),

uЈV„(i,x(i))          x(i)eV_x(i)

m = inf G(x(0),x(N)) : x(0) e V₍x)(0),x(N) e V₍x)(N).

Задача сводится к поиску такой последовательности пар

{( x ( i ), u ( i )) _s } c D

и такой функции p (разрешающей, или функции Кротова), что вы­полняются достаточные условия оптимальности:

R(i,x_s(i),u_s(i)) ^ i), G(x_s(0),x_s(N)) ^ m.

Аппроксимации степенным полиномом

Здесь рассматривается метод приближенного синтеза оптималь­ного управления, как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполя­ционным полиномом.

Предполагается, что V_x (0) = {x(0)} , V_x ( i ) = Rⁿ, i = 0,1,... , N. В данном случае функция G ( x (0), x ( N )) зависит только от x ( N ), так как левый конец траектории закреплен.

Функция p ( i , x ) выбирается так, чтобы P ( i , x ) не зависела от x, а функция G ( x ( N )) не зависела от x ( N ) , конкретно посредством из­вестных соотношений типа Беллмана относительно p ( i , x ):

• P (i, x(i)) =0,i = 0,1,...,N — 1, G(x(N)) = 0.

В общем случае их точное решение найти не удается, и приходится ограничиваться приближенными вычислениями.

Предлагаемый метод основан на аппроксимации разрешающей функции p ( i , x ) некоторым многомерным интерполяционным поли­номом

• p(i, x) = J2 ^a(i)g_a(x),

a

где { g_a(x)} — некоторый набор заданных базисных функций, {^_a(i)} --соответствующий набор коэффициентов, подлежащих определению из условий интерполяции равенств (1):

^{[ ф} a^(i)] =[g a^(xp W)]^-^

^SUPueU (i,x(i))⁽Ea ^ф а ⁽ⁱ + ¹⁾ga^{(/(i,x(i),u)) — x(i), u))} в

• [Ф a ( N )] = [ ga ( xe ( N ))]^-1[ F ( x_p ( N ))], а, в = 1, 2,..., M ,

где в — номер узловой точки, [(-)_a] ,[(^)в],[(^)_ae] —матрицы размером (слева направо) M х 1, M х 1, M х M.

Однако в многомерных задачах при интерполяции необходимо согласование формы интерполяционного полинома и сетки узлов ин­терполяции, обеспечивающее обратимость матрицы [ g_a ( xp(i))]. Вы­бор этих двух элементов, в конечном счете, и определяет метод при­ближенного решения поставленной задачи синтеза.

В качестве интерполяционного полинома использована следую­щая известная в теории интерполяции конструкция:

(5)

p(i,x(i))= Ј ji = 1^mi (xi(i)j X

(j (x2 (i)j (••• Ј jn=1^mn j (i)(xn(ij)),

здесь 1 j ₁ , j ₂ ,..., j_n ( i ) —неизвестные коэффициенты интерполяционного полинома, которые подлежат вычислению и которые, в конечном сче­те, определяют приближенно-оптимальный синтез управления. Чис­ло этих коэффициентов совпадает на регулярной решетке с числом узловых точек и равно произведению количества узловых точек по каждой из фазовых координат M = mi • m-2  m_n.

При решении практических задач, как правило, диапазоны изме­нения фазовых координат либо заданы, исходя из физического смыс­ла задачи, либо могут быть определены с помощью методов оценок множеств достижимости. Поэтому узловые линии (дискретные) для рассматриваемого интерполяционного полинома могут быть постро­ены следующим образом. В некоторый момент времени i = i * диапа­зоны изменения фазовых координат разбиваются точками на mi — 1 отрезков по оси xi, на (m-2 — 1) отрезков по оси x2, и т.д. Через эти точки на каждой оси проводятся ( n — 1)-мерные гиперплоскости, ор­тогональные этой оси. Взаимное пересечение этих гиперплоскостей определяет M = mi • m-2 m_n узловых точек. Через них про­водится регулярное семейство узловых линий x p (г),в = 1, 2,..., M выбранного вида, например, семейство прямых: x p ( i ) = const , линей­ных функций: x p ( i ) = Kii + Ко, парабол: x p ( i ) = K 21² + Kii + Ко, и т. д. В этом случае коэффициенты ¹ & j ₁ , j ₂,...j( i ) интерполяционно­го полинома (5) будут либо константами, либо простыми функциями времени.

При постановке рассматриваемой задачи учитывалось только од­но фазовое ограничение -- ограничение на левый конец траектории, которое в данном случае представляет собой заданную точку xo(0). Другие фазовые ограничения (или их совокупности) могут быть учте­ны с помощью известного метода штрафов.

Близость полученного нами приближенного синтеза оптималь­ного управления u ( i , x ( i )) к строгому оптимуму можно определить с помощью следующей верхней оценки, доставляемой достаточными

N - i

Ј

i =0

+

Найденное управление тем ближе к оптимальному, чем меньше эта оценка. Возможность вычисления оценки—это важное преимущество перед «чистым» методом Беллмана. Она позволяет организовать ре­гулярную процедуру уточнения приближённого решения за счет уве­личения числа узлов интерполяции и их расположения в фазовом пространстве, а также дает критерий ее остановки.

Алгоритм описанного метода состоит из следующих этапов:

• в рассматриваемой области задаются узловые линии, и со­ответствующая конструкция полинома (5);

• в моменты времени i решается система уравнений (4) с на­чальными условиями. В результате определяются коэффи­циенты интерполяционного полинома и приближенный син­тез оптимального управления;

• вычисляется оценка точности приближенного синтеза опти­мального управления (6). Если эта оценка неудовлетвори­тельна, то следует повторить шаги 1) и 2) с увеличением числа узловых линий;

• для найденного синтеза управления и заданных начальных условий решается система

x(i + 1) = /(i,x(i),u(i,x)), i = 0,1,. .., N — 1, x(0) = xo

в направлении от 0 к N . В результате определяются при­ближённые оптимальные траектория и управление — пара ( x ( i ), u ( i )), на которой функционал I достигает приближен­ного абсолютного минимума в рассматриваемой области.

Разработана также модификация данного метода, основанная на аппроксимации заданного набора узловых значений правой части уравнения Беллмана по методу наименьших квадратов. В этой мо­дификации равенства (4) заменяются минимизацией относительно неизвестных коэффициентов интерполяционного полинома (3) сум­мы квадратов отклонений этого полинома от соответствующих уз­ловых значений. Преимущество такого подхода в том, что отпадаетнеобходимость строгого согласования конструкции полинома и кон­фигурации узловых точек, требуется лишь избыточность числа узлов относительно числа неизвестных, чтобы задача аппроксимации име­ла единственное решение.