Геометрические приложения тройных интегралов

Геометрические приложения интегралов

    

     1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3

     1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5

     1.3 Геометрические приложения криволинейных  интегралов… 6

     1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8

Физические приложения интегралов

 

      2.1 Физические приложения двойных интегралов……………… 10

      2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12

      2.3 Физические приложения криволинейных интегралов……... 14

      2.4 Физические приложения поверхностных интегралов……… 18

                    1.Геометрические приложения интегралов

Геометрические приложения двойных интегралов

                                         1)Площадь плоской фигуры

Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой

Рис.1		Рис.2

                                                          2) Объем тела

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z₁ = f (x,y) и z₂ = g (x,y) с основанием R равен

                                                      3) Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R.

                       Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Рис. 3

 

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Решение.

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

Получаем

Геометрические приложения тройных интегралов

Геометрическое приложение - вычисление объема любого пространственного тела.

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример

Найти объем шара x² + y² + z² ≤ R².

Решение.

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.