Определение перемещений с помощью тригонометрических рядов

 

Внешнюю нагрузку, приложенную к кольцу, представим в виде ряда:

 

.                 (2.14)

 

Коэффициенты ряда (2.14) определяются при интегрировании левой и правой его частей в пределах от 0 до :

 

Таблица 2.1 – Безразмерные силовые факторы и перемещения для кольца

φ, °	Q	M	N	v	w
0.00	0.0000	0.1271	-0.3579	0.0000	-0.0346
10.00	-0.1118	0.1173	-0.3628	0.0059	-0.0322
20.00	-0.2218	0.0882	-0.3776	0.0110	-0.0253
30.00	-0.3285	0.0401	-0.4022	0.0145	-0.0149
40.00	-0.2563	-0.0110	-0.4215	0.0161	-0.0029
50.00	-0.1825	-0.0493	-0.4206	0.0156	0.0088
60.00	-0.1106	-0.0748	-0.4006	0.0131	0.0189
70.00	-0.0437	-0.0882	-0.3637	0.0091	0.0261
80.00	0.0155	-0.0905	-0.3124	0.0042	0.0299
90.00	0.0648	-0.0833	-0.2500	-0.0011	0.0300
100.00	0.1024	-0.0686	-0.1800	-0.0061	0.0268
110.00	0.1274	-0.0483	-0.1061	-0.0103	0.0206
120.00	0.1394	-0.0249	-0.0324	-0.0132	0.0124
130.00	0.1389	-0.0004	0.0375	-0.0145	0.0030
140.00	0.1267	0.0229	0.1001	-0.0142	-0.0065
150.00	0.1045	0.0433	0.1522	-0.0123	-0.0151
160.00	0.0744	0.0590	0.1914	-0.0090	-0.0219
170.00	0.0386	0.0689	0.2157	-0.0048	-0.0263
180.00	0.0000	0.0723	0.2239	0.0000	-0.0278
190.00	-0.0386	0.0689	0.2157	0.0048	-0.0263
200.00	-0.0744	0.0590	0.1914	0.0090	-0.0219
210.00	-0.1045	0.0433	0.1522	0.0123	-0.0151
220.00	-0.1267	0.0229	0.1001	0.0142	-0.0065
230.00	-0.1389	-0.0004	0.0375	0.0145	0.0030
240.00	-0.1394	-0.0249	-0.0324	0.0132	0.0124
250.00	-0.1274	-0.0483	-0.1061	0.0103	0.0206
260.00	-0.1024	-0.0686	-0.1800	0.0061	0.0268
270.00	-0.0648	-0.0833	-0.2500	0.0011	0.0300
280.00	-0.0155	-0.0905	-0.3124	-0.0042	0.0299
290.00	0.0437	-0.0882	-0.3637	-0.0091	0.0261
300.00	0.1106	-0.0748	-0.4006	-0.0131	0.0189
310.00	0.1825	-0.0493	-0.4206	-0.0156	0.0088
320.00	0.2563	-0.0110	-0.4215	-0.0161	-0.0029
330.00	0.3285	0.0401	-0.4022	-0.0145	-0.0149
340.00	0.2218	0.0882	-0.3776	-0.0110	-0.0253
350.00	0.1118	0.1173	-0.3628	-0.0059	-0.0322
360.00	0.0000	0.1271	-0.3579	0.0000	-0.0346

 

;

;        ;

;           .

;

;

;

;

.

 

В результате ряд для  принимает вид:

 

.  (2.15)

 

Дифференциальное уравнение для перемещения v имеет вид [1, с. 108]:

 

.        (2.16)

 

Перед слагаемым  стоит знак «–», так как погонные нормальные силы , направлены в сторону, противоположную принятому при выводе этого уравнения положительному направлению для .

Подставляя в уравнение (2.16)

 

,

,

 

получим:

 

.        (2.17)

 

Подставив в это уравнение выражение для перемещения v в виде ряда

 

 

и приравняв коэффициенты при соответствующих функциях в уравнении

 

,

 

получим:

 

;

.                     (2.18)

 

Из условия нерастяжимости кольца

 

;

.                   (2.19)

 

Представим эти перемещения в безразмерном виде

 

    и  .

 

Окончательно

 

                (2.20)

 

Эпюры безразмерных перемещений и форму деформированного кольца построим с помощью пакета MathCAD (приложение 4). Результаты приведены в таблице 2.1 и представлены на рисунках 2.2 и 2.3.

 

Определение размеров поперечного сечения шпангоута

 

Выберем [3, с. 304] поперечное сечение шпангоута в виде двутаврового профиля (рисунок 2.4). Определим размеры этого сечения, если кольцо изготовлено из сплава В95 [2, с. 43], для которого с учетом коэффициента запаса

 

Рисунок 2.3 – Форма деформированного кольца

Рисунок 2.4 – Геометрические параметры сечения шпангоута

 

по пределу текучести ( ) допускаемые напряжения . Расчет проведем для сечения шпангоута при  (приложение 5). Здесь

 

;

;

.

 

Задаемся [3, с. 306]:

 

;              ;

;           .

 

Площадь сечения шпангоута

 

;

,

 

расстояние до нейтральной оси

 

;

,

 

собственный момент инерции сечения

 

;

.

 

Напряжения в наружной полке

 

,                           (2.21)

 

во внутренней полке

 

.                (2.22)

 

M и N подставляются в формулы (2.21) и (2.22) с теми знаками, которые получаются при их вычислении.

Назначим толщину стенки  и найдем .

Теперь толщина и ширина полок:

 

; ;     .

 

Сечение шпангоута в масштабе 1:1 изображено на рисунке 2.5.

Нормальные напряжения в полках:

 

;         .

 

Определим максимальные касательные напряжения в стенке шпангоута для сечения при  ( ):

 

.                                (2.23)

 

Статический момент части площади сечения, расположенной выше нейтральной оси, относительно этой оси

 

;

.

 

После расчета получим

 

.

 

Рисунок 2.5 – Сечение шпангоута в масштабе 1:1