Математическая модель первичного преобразователя температуры

При использовании термисторов важным вопросом, от решения которого существенно зависит точность измерения температуры, является выбор математической модели термистора.

Наиболее простой из моделей, используемых для термисторов с отрицательным ТКС, является следующая:

 (4.1)

где  - сопротивление термистора при температуре Т;

Т – абсолютная температура;

А и В – постоянные коэффициенты [4].

Из формулы (4.1) может быть получена более удобная обратная математическая модель (Модель 1):

 (4.2)

где  - сопротивление термистора при температуре Т;

Т – абсолютная температура;

 и – постоянные коэффициенты.

В каталоге продукции BetaTHERM рекомендуется более сложная модель (Модель 2):

 (4.3)

где  - сопротивление термистора при температуре Т;

 Т – абсолютная температура;

, , – постоянные коэффициенты [6].

В измерительных приборах и системах, разрабатываемых и выпускаемых НТЦ «ГеоПАЛС», применяется еще более сложная математическая модель термистора (Модель 3):

 (4.4)

где  - сопротивление термистора при температуре Т;

Т – абсолютная температура;

, , , – постоянные коэффициенты.

Для сравнения моделей 1, 2 и 3 были использованы таблицы [6], представляющие собой градуировочные характеристики термисторов из различных материалов, выпускаемых фирмой BetaTHERM. Ниже приводятся результаты анализа для термисторов из материала № 7 (из этого материала изготовлены миниатюрные microchip, используемые в приборах НТЦ «ГеоПАЛС»).

В диапазоне температур (0...100) ºС были методом наименьших квадратов определены постоянные коэффициенты для каждой из моделей 1, 2, 3, определены погрешности аппроксимации во всех точках диапазона температур (через 5 ºС) и максимальная погрешность аппроксимации.

Зависимости погрешности от температуры для моделей 1, 2, 3 представлены на рис. 4.1. Анализ этих графиков показывает, что модель 1 и модель 2 имеют существенные систематические погрешности. В то же время отклонения данных от модели 3 имеют случайный характер, а следовательно дальнейшее усложнение модели нецелесообразно. Максимальная погрешность для модели 1 составляет 0,6 ºС, для модели 2 – 0,25 ºС, для модели 3 – 0,012 ºС, причем погрешность для модели 3 имеет случайный характер и определяется главным образом погрешностью получения исходных экспериментальных данных.

Таким образом, наилучшей математической моделью термистора является модель 3. Аналогичные выводы получены при анализе характеристик термисторов фирмы BetaTHERM, изготавливаемых из других материалов.

Графики зависимости погрешности от температуры для моделей 1, 2, 3

Рис. 4.1

Модель 3 содержит четыре постоянных коэффициента , , , , значения которых в конкретном диапазоне температур должны быть определены изготовлением измерительной аппаратуры путем ее калибровки. Очевидно, что при калибровке количество различных температурных точек должно быть не менее 4. Для исключения возможных ошибок и аномальных данных при калибровке целесообразно использовать 5 или 6 температурных точек. Калибровка должна осуществляться для каждого прибора, т.е для каждого прибора определяются индивидуальные значения параметров , , , .

В зависимости от назначения, состава и структуры измерительной системы для термического каротажа вычисление значения измеряемой температуры по формуле (4.4) с использованием индивидуальных значений параметров , , ,  осуществляется либо с помощью микропроцессора (например, в комплексной скважинной аппаратуре), либо в ЭВМ, с помощью которой обрабатывается получаемая измерительная информация (например, при работе с автономными приборами).