О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Курсовая работа

Инвариантные подгруппы бипримарных групп

 

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.

 

 

Гомель 2006

Содержание

 

Введение

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Заключение

Список литературы

Введение

 

В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.

Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.

Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.

В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Теорема. Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.

Основные обозначения

 

	группа
	порядок группы
	класс всех разрешимых групп
	класс всех нильпотентных групп
	является подгруппой группы
	является нормальной подгруппой группы
	прямое произведение подгрупп  и
	подгруппа Фраттини группы
	фактор-группа группы  по
	множество всех простых делителей натурального числа
	множество всех простых делителей порядка группы
	подгруппа Фиттинга группы
	наибольшая инвариантная -подгруппа группы
	индекс подгруппы  в группе

 

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка ,  и  - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка  при  существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев ,  и , .

Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы  порядка  с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок ,  и в  нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе имеется пробел.

В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в . А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является

Теорема  Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Если  и  - различные простые числа,  и  - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому теорема распространяется па все бипримарные группы.

Теорема  Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Следствие  Если  и  - нечетные простые числа и , то любая группа порядка  обладает характеристической -подгруппой порядка .

Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел  и , являются точными и что инвариантной -подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.

Теорема  Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

 

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:

 

 

где  и  взаимно просто с . Из определения вытекает, что  есть показатель, с которым  входит в произведение . Поэтому

 

 

где  - целая часть числа  (см. ) и  - наибольшее число, при котором .

Тогда

 

 

Лемма   .

Лемма  Пусть  - показатель, которому  принадлежит по модулю , и пусть ,  не делит . Тогда и только тогда  делит , когда  кратно . Если ,  не делит , то, за исключением случая , число  есть наивысшая степень , которая делит .

Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим , используя бином Ньютона:

 

 

Заметим, что

 

 

есть целое число. Действительно,  и число  делит произведение . Учитывая, что , из леммы получаем, что  и  делит . Теперь

 

 

где  - целое число. Так как  не делит , то выражение в скобках не делится на , за исключением случая . Лемма доказана.

Исключение , в лемме существенно; легко заметить, что при ,  лемма неверна. Случай  был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).

Лемма  Пусть ,  - нечетное число и  - наименьшее целое число, при котором . Пусть . Определим число  так: если, , то . если , тo  - нечетное число. Тогда

1) если  - нечетное число, то ; ;

2) если  - четное число и ,  - нечетное число, то , , где , ,  и  - нечетные числа.

Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:

 

 

Если  - нечетное число, то

 

 

 - нечетное число. Если  - четное число, то

 

 

 - нечетное число.

 

Пусть теперь  - нечетное число . Тогда

 

где

Ho  - нечетное число, поэтому  - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где  - нечетное число.

И наконец, если , .  - нечетное число, то

 

 

 - нечетное число. Лемма доказана.

Лемма  Пусть  и  - различные простые числа,  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Пусть ,  или  и  - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где  - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число  определяется как и в лемме3.

Доказательство. Порядок группы  известен (см.2):

 

 

Ясно, что  - наивысшая степень , которая делит произведение .

Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении  лишь следующие сомножители кратны :

 

где  определяется неравенством . Так как  есть наивысшая степень , которая делит , где ,  не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть .

Следовательно,

 

.

 

Пусть теперь . Тогда  и . Заметим, что

 

 

Применим индукцию по . Если , то , а так как ,  и , то утверждение для  справедливо.

Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале  есть нечетное число, т.е. ,  и . По лемме (4) ,  - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для  справедливо.

Пусть теперь  - четное число. Тогда  и . Кроме того, если ,  не делит , то по лемме ,  - нечетное число. Значит,

 

 

Лемма доказана полностью.

Лемма  Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , , , и .

 

Доказательство. Пусть  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Так как  - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где  определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то  и  - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то  и . Если , то  и  - противоречие. Если , то . Кроме того, . Поэтому из условия  следует, что . Получили утверждение для  из пункт<