Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт

Регрессионный анализ

Задача

Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время доставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл.).

 

Расстояние, км	3,5	2,4	4,9	4,2	3,0	1,3	1,0	3,0	1,5	4,1
Время, мин	16	13	19	18	12	11	8	14	9	16

 

Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченным временем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз поездки на 2 км.

Решение

Для расчёта стоимости услуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1):

 

	t	y(t)
	расстояние.	время
1	3,50	16,00	12,25	56,00	256,00	15,22	2,63
2	2,40	13,00	5,76	31,20	169,00	12,30	1,70
3	4,90	19,00	24,01	93,10	361,00	18,95	28,58
4	4,20	18,00	17,64	75,60	324,00	17,08	12,14
5	3,00	12,00	9,00	36,00	144,00	13,89	0,09
6	1,30	11,00	1,69	14,30	121,00	9,37	17,88
7	1,00	8,00	1,00	8,00	64,00	8,57	25,27
8	3,00	14,00	9,00	42,00	196,00	13,89	0,09
9	1,50	9,00	2,25	13,50	81,00	9,90	13,67
10	4,10	16,00	16,81	65,60	256,00	16,82	10,36
сумма	28,9	136,0	99,4	435,3	1 972,0	136,0	112,4
		13,60
a1 =	2,66
a0 =	5,91
r2 =	0,92	91,83%
	8,17

 

Рис .1 - График исходных данных

 

Вывод: существует сильная связь между исходными данными.

Задача

В таблице приведены данные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последний год (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде и удобрениях.

 

Месяц	Объем собранного урожая	Факторы, влияющие на урожай
		Электроэнергия, кВт	Удобрения, тонн	Вода, литр
t	y	x1	x2	x3
январь	140	165	138	134
февраль	138	164	139	128
март	158	158	157	168
апрель	144	159	142	147
май	142	148	144	146
июнь	134	152	136	140
июль	122	143	122,5	132
август	125	146	128	135
сентябрь	124	148	119	125
октябрь	138	150	142	126
ноябрь	157	156	159	143
декабрь	161	160	164	150

 

Необходимо определитьстепень влияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этого необходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии, проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) и сделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходных данных).

Решение

Строим графики исходных данных (рис. 2, 3):

 

Рис. 2 - График зависимости урожая от удобрения

Рис. 3 - График зависимости урожая от воды

 

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости:

Численные коэффициенты функции регрессии

 

X1 i	Y i	X1 i І	X1 i Y i	Y i І	Y i p	(Y i p -y)І	(Y i -y)І
165	140	27225	23100	19600	152,5778	151,9747	0,0625
164	138	26896	22632	19044	151,4485	125,4073	5,0625
158	158	24964	24964	24964	144,673	19,56251	315,0625
159	144	25281	22896	20736	145,8022	30,82711	14,0625
148	142	21904	21016	20164	133,3803	47,19267	3,0625
152	134	23104	20368	17956	137,8974	5,534888	39,0625
143	122	20449	17446	14884	127,734	156,6506	333,0625
146	125	21316	18250	15625	131,1218	83,32442	232,5625
148	124	21904	18352	15376	133,3803	47,19267	264,0625
150	138	22500	20700	19044	135,6388	21,26283	5,0625
156	157	24336	24492	24649	142,4144	4,684729	280,5625
160	161	25600	25760	25921	146,9315	44,64219	430,5625
1849	1683	285479	259976	237963		738,2566	1922,25
Среднее значение	140,25

 

Коэффициент детерминации r²=0,384059.

Коэффициент детерминации низкий поэтому модель не адекватна.

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициенты функции регрессии

 

X2 i	Y i	X2 i І	X2 i Y i	Y i І	Y i p	(Y i p -y)І	(Y i -y)І
138	140	19044	19320	19600	137,5802	7,127725	0,0625
139	138	19321	19182	19044	138,5088	3,031641	5,0625
157	158	24649	24806	24964	155,224	224,2202	315,0625
142	144	20164	20448	20736	141,2947	1,091391	14,0625
144	142	20736	20448	20164	143,1519	8,421225	3,0625
136	134	18496	18224	17956	135,723	20,49389	39,0625
122,5	122	15006,25	14945	14884	123,1866	291,1588	333,0625
128	125	16384	16000	15625	128,294	142,9452	232,5625
119	124	14161	14756	15376	119,9365	412,64	264,0625
142	138	20164	19596	19044	141,2947	1,091391	5,0625
159	157	25281	24963	24649	157,0812	283,29	280,5625
164	161	26896	26404	25921	161,7243	461,1463	430,5625
1690,5	1683	240302,3	239092	237963		1856,658	1922,25
Среднее значение	140,25

 

Коэффициенты регрессии — сдвиг а₀ и наклон а₁прямой у:

a0=	9,430782
a1=	0,928619

Коэффициент детерминации r²=0,965877.

Коэффициент детерминации высокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Прогноз на три шага вперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2.

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициенты функции регрессии

 

X 3i	Y i	X 3i І	X 3i Y i	Y i І	Y i p	(Y i p -y)І	(Y i -y)І
134	140	17956	18760	19600	135,8979	18,94079	0,0625
128	138	16384	17664	19044	131,1502	82,80727	5,0625
168	158	28224	26544	24964	162,8018	508,5838	315,0625
147	144	21609	21168	20736	146,1847	35,22048	14,0625
146	142	21316	20732	20164	145,3934	26,4545	3,0625
140	134	19600	18760	17956	140,6456	0,156535	39,0625
132	122	17424	16104	14884	134,3153	35,22048	333,0625
135	125	18225	16875	15625	136,6892	12,67937	232,5625
125	124	15625	15500	15376	128,7763	131,6463	264,0625
126	138	15876	17388	19044	129,5676	114,1144	5,0625
143	157	20449	22451	24649	143,0195	7,670238	280,5625
150	161	22500	24150	25921	148,5586	69,03215	430,5625
1674	1683	235188	236096	237963		1042,526	1922,25
Среднее значение	140,25

 

Коэффициенты регрессии — сдвиг а₀ и наклон а₁прямой у:

a0=	29,86486
a1=	0,791291

Коэффициент детерминации r²=0,542347.

Коэффициент детерминации низкий, поэтому модель не адекватна.

Задача

Санаторный комплекс ежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С₁. Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня также выпекает хлеб сорта С₂, который пускает в свободную продажу. В таблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год

 

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
С1	1	2,3	1,5	0,5	4	5	2	3,5	1	4,5	2,5	1,5
С2	9	6,5	8,1	8,7	4	0,2	7,6	5	8,7	2	7	8,4

 

Проанализируйте график исходных данных и постройте регрессионную модель функции производственных возможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогноз выпуска хлеба С₂, если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С₁ 3 тысячи булок.

Решение

 

Рис. 4 - График исходных данных

 

Суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощью таблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количества электроэнергии.

 

x	y	x2	xy	yp	(yp-ycp)2	(y-ycp)2
1	9	1	9	8.981453	7.370065	7.471111
2.3	6.5	5.29	14.95	6.533438	0.071167	0.054444
1.5	8.1	2.25	12.15	8.039909	3.144387	3.361111
0.5	8.7	0.25	4.35	9.922997	13.36875	5.921111
4	4	16	16	3.332187	8.611173	5.137778
5	0.2	25	1	1.449098	23.20897	36.80444
2	7.6	4	15.2	7.098364	0.691721	1.777778
3.5	5	12.25	17.5	4.273731	3.971792	1.604444
1	8.7	1	8.7	8.981453	7.370065	5.921111
4.5	2	20.25	9	2.390642	15.02356	18.20444
2.5	7	6.25	17.5	6.15682	0.012066	0.537778
1.5	8.4	2.25	12.6	8.039909	3.144387	4.551111
å=29.3	å=75.2	å=95.79	å=137.95		å=85.98811	å=91.34667

 

Находим коэффициенты регрессии — сдвиг а₀ и наклон а₁прямой у:

a0=	10,86454
a1=	-1,88309

Коэффициент детерминации r²=0,941338.

Коэффициент детерминации высокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С₁ 3 тысячи булок, то прогноз С₂ =-1,88309*3000+10,86454=5215,7.

Транспортная задача

Задача

Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально.

Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

 

	D	E
А	80	215
В	100	108
С	102	68

 

Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

 

;

 

Получаем:

 

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт
	D	Е	V	Издержки
А	80	215	1000
В	100	108	1300
С	102	68	1200
Спрос	2300	1400		291600
Продукция
	D	Е	Сумма
А	1000	0	1000
В	1300	0	1300
С	0	1200	1200
Y	0	200	200
Сумма	2300	1400

Задача

Постройте транспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей за квартал.

Решение

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

 

;

 

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт