Правило множителей Лагранжа

Описываемый ниже необходимый признак локального условного минимума был сформулирован Лагранжем. Определим F: R^m ® R^k+1, положив F(x) = (f₀(x), f₁(x), ..., f_k(x)). Заданная на R^m×R^k+1 скалярная функция Лагранжа M по определению принимает значения в R и задается равенством

M(x, m) = (m, F(x)) =  m_i f_i(x) (x Î R^m, m Î R^k+1).

Координаты вектора m, т. е. числа m₀, m₁, ..., m_k называются множителями Лагранжа или двойственными переменными. Оказывается, имеет место следующая теорема, часто именуемая правилом множителей Лагранжа:

Теорема. Пусть F Î C¹ и x* — локальный условный минимум функции f₀ при ограничениях f_i(x) = 0 (i = 1, ..., k). Тогда найдется ненулевой вектор m* такой, что x* является стационарной точкой функции x M(x, *):

M¢_x(x, m*)|_x=x*= m*_i f ¢_i(x*)= Q.

Правило множителей Лагранжа доставляет необходимое условие локального условного минимума и поэтому позволяет искать точки, "подозрительные" на экстремум. В самом деле, для нахождения точки (x*, m*) Î R^m+k+1, т. е. для нахождения m + k + 1 неизвестных, мы имеем m + k уравнений

f(x) = Q, M¢_x(x, l)= Q.

Поскольку, очевидно, множители Лагранжа можно искать с точностью до постоянного множителя, то в общей ситуации этих уравнений хватает для отыскания x*.

Регулярные точки

Допустимая точка x задачи (3.1)–(3.2) называется регулярной, если векторы {f _i(x)}^k_i=1линейно независимы. Оказывается, что если x* — регулярная точка минимума, то в векторе * можно считать *₀ ненулевым, а поскольку множители Лагранжа определяются с точностью до множителя, можно считать, что *₀ = 1. Чтобы сформулировать это утверждение более точно, введем следующие обозначения. Пусть   R^k, а функция Лагранжа в регулярном случае определяется равенством

L(x, l) = f₀(x) + (l, f(x)) = f₀(x) + l_i f_i(x) (x Î R^m, l Î R^k).

Очевидно, L(x, l) = M(x, m),  m = (1, l).

Теорема (правило множителей Лагранжа в регулярном случае)

Пусть F  C¹, а x* — регулярное локальное решение задачи (3.1)–(3.2). Тогда найдется ненулевой вектор *  R^k такой, что

L¢_x(x*, l*)= Q.

Одно достаточное условие локального минимума

Говорят, что линейный оператор A положительно определен на подпространстве E, если (Ax, x) > 0 при всех x  E. Касательным подпространством к многообразию  в точке y называется множество T_y = {x  R^m: (f (y), x) = 0, i = 1, ..., k}. Касательной гиперплоскостью к многообразию  в точке y называется множество

W¢_y = {x Î R^m: f_i(y) + (f ¢(y), xy) = 0, i = 1, ..., k}.

Теорема (достаточное условие минимума)

Пусть F Î C², а x* — регулярная стационарная точка функции Лагранжа, т. е., в частности, L¢(x*, *) =  при некотором ненулевом *  R^k. Тогда, если L_xx¢¢(x*, l*)положительно определен на T_x*, то точка x* является локальным решением задачи (3.1)–(3.2).