Пример ГА: Решение Диофантова уравнения

Рассмотрим диофантово (только целые решения) уравнение: a+2b+3c+4d=30, где a, b, c и d - некоторые положительные целые. Применение ГА за очень короткое время находит искомое решение (a, b, c, d). Конечно, Вы можете спросить: почему бы не использовать метод грубой силы: просто не подставить все возможные значения a, b, c, d (очевидно, 1 <= a,b,c,d <= 30) ? Архитектура ГА-систем позволяет найти решение быстрее за счет более 'осмысленного' перебора. Мы не перебираем все подряд, но приближаемся от случайно выбранных решений к лучшим. Для начала выберем 5 случайных решений: 1 =< a,b,c,d =< 30. Вообще говоря, мы можем использовать меньшее ограничение для b,c,d, но для упрощения пусть будет 30.

 

Таблица 2: 1-е поколение хромосом и их содержимое

Хромосома	(a,b,c,d)
1	(1,28,15,3)
2	(14,9,2,4)
3	(13,5,7,3)
4	(23,8,16,19)
5	(9,13,5,2)

 

Чтобы вычислить коэффициенты выживаемости (fitness), подставим каждое решение в выражение a+2b+3c+4d. Расстояние от полученного значения до 30 и будет нужным значением.

 

 

Таблица 3: Коэффициенты выживаемости первого поколения хромосом (набора решений)

Хромосома	Коэффициент выживаемости
1	|114-30|=84
2	|54-30|=24
3	|56-30|=26
4	|163-30|=133
5	|58-30|=28

 

Так как меньшие значения ближе к 30, то они более желательны. В нашем случае большие численные значения коэффициентов выживаемости подходят, увы, меньше. Чтобы создать систему, где хромосомы с более подходящими значениями имеют большие шансы оказаться родителями, мы должны вычислить, с какой вероятностью (в %) может быть выбрана каждая. Одно решение заключается в том, чтобы взять сумму обратных значений коэффициентов, и исходя из этого вычислять проценты. (Заметим, что все решения были сгенерированы Генератором Случайных Чисел - ГСЧ).

 

Таблица 4: Вероятность оказаться родителем

Хромосома	Подходящесть
1	(1/84)/0.135266 = 8.80%
2	(1/24)/0.135266 = 30.8%
3	(1/26)/0.135266 = 28.4%
4	(1/133)/0.135266 = 5.56%
5	(1/28)/0.135266 = 26.4%

 

Для выбора 5-и пар родителей (каждая из которых будет иметь 1 потомка, всего - 5 новых решений), представим, что у нас есть 10000-сторонняя игральная кость, на 880 сторонах отмечена хромосома 1, на 3080 - хромосома 2, на 2640 сторонах - хромосома 3, на 556 - хромосома 4 и на 2640 сторонах отмечена хромосома 5. Чтобы выбрать первую пару кидаем кость два раза и выбираем выпавшие хромосомы.

Таблица 5: Симуляция выбора родителей

Хромосома отца	Хромосома матери
3	1
5	2
3	5
2	5
5	3

 

Каждый потомок содержит информацию о генах и отца и от матери. Вообще говоря, это можно обеспечить различными способами, однако в нашем случае можно использовать т.н. "кроссовер" (cross-over). Пусть мать содержит следующий набор решений: a1,b1,c1,d1, а отец - a2,b2,c2,d2, тогда возможно 6 различных кросс-оверов (| = разделительная линия):

 

Таблица 6: Кроссоверы между родителями

Хромосома-отец	Хромосома-мать	Хромосома-потомок
a1 | b1,c1,d1	a2 | b2,c2,d2	a1,b2,c2,d2 or a2,b1,c1,d1
a1,b1 | c1,d1	a2,b2 | c2,d2	a1,b1,c2,d2 or a2,b2,c1,d1
a1,b1,c1 | d1	a2,b2,c2 | d2	a1,b1,c1,d2 or a2,b2,c2,d1

 

Есть достаточно много путей передачи информации потомку, и кроссовер - только один из них. Расположение разделителя может быть абсолютно произвольным, как и то, отец или мать будут слева от черты. А теперь попробуем проделать это с нашими потомками

 

Таблица 7: Симуляция кроссоверов хромосом родителей

Хромосома-отец	Хромосома-мать	Хромосома-потомок
(13 | 5,7,3)	(1 | 28,15,3)	(13,28,15,3)
(9,13 | 5,2)	(14,9 | 2,4)	(9,13,2,4)
(13,5,7 | 3)	(9,13,5 | 2)	(13,5,7,2)
(14 | 9,2,4)	(9 | 13,5,2)	(14,13,5,2)
(13,5 | 7, 3)	(9,13 | 5, 2)	(13,5,5,2)

 

Теперь мы можем вычислить коэффициенты выживаемости (fitness) потомков.

 

Таблица 8: Коэффициенты выживаемости потомков (fitness)

Хромосома-потомок	Коэффициент выживаемости
(13,28,15,3)	|126-30|=96
(9,13,2,4)	|57-30|=27
(13,5,7,2)	|57-30|=22
(14,13,5,2)	|63-30|=33
(13,5,5,2)	|46-30|=16

 

Средняя приспособленность (fitness) потомков оказалась 38.8, в то время как у родителей этот коэффициент равнялся 59.4. Следующее поколение может мутировать. Например, мы можем заменить одно из значений какой-нибудь хромосомы на случайное целое от 1 до 30. Продолжая таким образом, одна хромосома, в конце концов, достигнет коэффициента выживаемости 0, то есть станет решением. Системы с большей популяцией (например, 50 вместо 5-и сходятся к желаемому уровню (0) более быстро и стабильно.

Заголовок класса

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

#include<stdio.h>

#define MAXPOP    25

struct gene

{

int alleles[4];

int fitness;

float likelihood; // Тест на равенство

operator==(gene gn)

for (int i=0;i<4;i++)

{

if (gn.alleles[i] != alleles[i]) return false;

}

return true;

class CDiophantine

public:

CDiophantine(int, int, int, int, int); // Конструктор с коэффициентами при а,b,c,d

int Solve();                                           // Вычисляет решение уравнения

 

gene GetGene(int i)

{ return population[i];}

protected:

int ca,cb,cc,cd;                                      // Коэффициенты при а,b,c,d

int result;

gene population[MAXPOP];      // Массив из генов - популяция

int Fitness(gene &);                              // Функция приспособленности

void GenerateLikelihoods();        // Вычисляет вероятности воспроизведения

float MultInv();

 

int CreateFitnesses();

void CreateNewPopulation();

int GetIndex(float val);

 

gene Breed(int p1, int p2);

Существуют две структуры: gene и класс CDiophantine. gene используется для слежения за различными наборами решений. Создаваемая популяция - популяция ген. Эта генетическая структура отслеживает свои коэффициенты выживаемости и вероятность оказаться родителем. Также есть небольшая функция проверки на равенство, просто чтобы сделать кое-какой другой код покороче. Теперь по функциям:

 

Функция Fitness

 

Вычисляет коэффициент выживаемости (приспособленности - fitness) каждого гена. В нашем случае это - модуль разности между желаемым результатом и полученным значением. Этот класс использует две функции: первая вычисляет все коэффициенты, а вторая - поменьше (желательно сделать ее inline) вычисляет коэффициент для какого-то одного гена.

CDiophantine::Fitness(gene &gn) //Вычисляет коэффициет приспособленности для данного гена

{

int total = ca * gn.alleles[0] + cb * gn.alleles[1] + cc * gn.alleles[2] + cd * gn.alleles[3];

return gn.fitness = abs(total - result);

}

int CDiophantine::CreateFitnesses() // Возвращает номер гена в популяции ,

{ // кот. явл. решением данного ур-я

float avgfit = 0;

int fitness = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

fitness = Fitness(population[i]);

//        avgfit += fitness;

if (fitness == 0)

{

return i;

}

}

 

return 0; //Возвращает 0 ,если среди генов данной популяции не нашлось решения

}

Заметим, что если fitness = 0, то найдено решение - возврат. После вычисления приспособленности (fitness) нам нужно вычислить вероятность выбора этого гена в качестве родительского.

 

Функция Likelihood

Как и было объяснено, вероятность вычисляется как сумма обращенных коэффициентов, деленная на величину, обратную к коэффициенту данному значению. Вероятности кумулятивны (складываются), что делает очень легким вычисления с родителями. Например:

 

Таблица

Хромосома	Вероятность
1	(1/84)/0.135266 = 8.80%
2	(1/24)/0.135266 = 30.8%
3	(1/26)/0.135266 = 28.4%
4	(1/133)/0.135266 = 5.56%
5	(1/28)/0.135266 = 26.4%

 

В программе, при одинаковых начальных значениях, вероятности сложатся: представьте их в виде кусков пирога. Первый ген - от 0 до 8.80%, следующий идет до 39.6% (так как он начинает 8.8). Таблица вероятностей будет выглядеть приблизительно так:

 

Таблица

Хромосома	Вероятность (smi = 0.135266)
1	(1/84)/smi = 8.80%
2	(1/24)/smi = 39.6% (30.8+8.8)
3	(1/26)/smi = 68% (28.4+39.6)
4	(1/133)/smi = 73.56% (5.56+68)
5	(1/28)/smi = 99.96% (26.4+73.56)

 

Последнее значение всегда будет 100. Имея в нашем арсенале теорию, посмотрим на код. Он очень прост: преобразование к float необходимо для того, чтобы избежать целочисленного деления. Есть две функции: одна вычисляет smi, а другая генерирует вероятности оказаться родителем.

float CDiophantine::MultInv()

{

float sum = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

sum += 1/((float)population[i].fitness);

}

return sum; //Сумма обратных коэффициентов приспособленности всех генов в популяции

}

void CDiophantine::GenerateLikelihoods() //Генерирует вероятности воспроизведения

{

float multinv = MultInv();

float last = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

population[i].likelihood = last = last + ((1/((float)population[i].fitness) / multinv) * 100);

}

}

Итак, у нас есть и коэффициенты выживаемости (fitness) и необходимые вероятности (likelihood). Можно переходить к размножению (breeding).

Функции Breeding

Функции размножения состоят из трех: получить индекс гена, отвечающего случайному числу от 1 до 100, непосредственно вычислить кроссовер двух генов и главной функции генерации нового поколения. Рассмотрим все эти функции одновременно и то, как они друг друга вызывают. Вот главная функция размножения:

CDiophantine::CreateNewPopulation() {gene temppop[MAXPOP];for(int i=0;i<MAXPOP;i++){int parent1 = 0,parent2 = 0, iterations = 0;while(parent1 == parent2 || population[parent1] == population[parent2]){parent1 = GetIndex((float)(rand() % 101));parent2 = GetIndex((float)(rand() % 101));if (++iterations > MAXPOP) break; // В этом случае родителей выбираем случайно} temppop[i] = Breed(parent1, parent2); // Процесс размножения}for(i=0;i<MAXPOP;i++)population[i] = temppop[i];}

Итак, первым делом мы создаем случайную популяцию генов. Затем делаем цикл по всем генам. Выбирая гены, мы не хотим, чтобы они оказались одинаковы (ни к чему скрещиваться с самим собой :), и вообще - нам не нужны одинаковые гены (operator = в gene). При выборе родителя, генерируем случайное число, а затем вызываем GetIndex. GetIndex использует идею куммулятивности вероятностей (likelihoods), она просто делает итерации по всем генам, пока не найден ген, содержащий число:

int CDiophantine::GetIndex(float val) // По данному числу от 0 до //100 возвращает{ // номер необходимого гена в популяцииfloat last = 0;for(int i=0;i<MAXPOP;i++){if (last <= val && val <= population[i].likelihood) return i;else last = population[i].likelihood;} return 4;}

Возвращаясь к функции CreateNewPopulation(): если число итераций превосходит MAXPOP, она выберет любых родителей. После того, как родители выбраны, они скрещиваются: их индексы передаются вверх на функцию размножения (Breed). Breed function возвращает ген, который помещается во временную популяцию. Вот код:

gene CDiophantine::Breed(int p1, int p2){int crossover = rand() % 3+1; //Число от 1 до 3 - генерируем точку кроссовера.int first = rand() % 100;    // Какой родитель будет первым ?gene child = population[p1];  // Инициализировать ребенка первым родителемint initial = 0, final = 4;if (first < 50) initial = crossover;// Если первый родитель р1(вероятность этого 50%) -// начинаем с точки кроссовераelse final = crossover;                 // Иначе - заканчиваем на точке кроссовераfor(int i=initial;i<final;i++){                     // Кроссоверchild.alleles[i] = population[p2].alleles[i];if (rand() % 101 < 5) child.alleles[i] = rand() % (result + 1);// 5% - мутация}return child;                                                   // Возвращаем ребенка}void CDiophantine::CreateNewPopulation() {gene temppop[MAXPOP];for(int i=0;i<MAXPOP;i++){int parent1 = 0,parent2 = 0, iterations = 0;while(parent1 == parent2 || population[parent1] == population[parent2]){parent1 = GetIndex((float)(rand() % 101));parent2 = GetIndex((float)(rand() % 101));if (++iterations > MAXPOP) break; // В этом случае родителей выбираем случайно} temppop[i] = Breed(parent1, parent2);         // Процесс размножения}for(i=0;i<MAXPOP;i++)population[i] = temppop[i];}

В конце концов мы определим точку кросс-овера. Заметим, что мы нехотим, чтобы кросс-овер состоял из копирования только одного родителя. Сгенерируем случайное число, которое определит наш кроссовер. Остальное понятно и очевидно. Добавлена маленькая мутация, влияющая на скрещивание. 5% - вероятность появления нового числа.

Функция Solve

Теперь уже можно взглянуть на функцию Solve(). Она всего лишь итеративно вызывает вышеописанные функции. Заметим, что мы присутствует проверка: удалось ли функции получить результат, используя начальную популяцию. Это маловероятно, однако лучше проверить.

int CDiophantine::Solve()

{

int fitness = -1;

// Создаем начальную популяцию

srand((unsigned)time(NULL));

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{       // Аллели хромосом заполняем произвольными числами от 0 до result

for (int j=0;j<4;j++)

{

population[i].alleles[j] = rand() % (result + 1);

}

}

if (fitness = CreateFitnesses())

{

return fitness;

}

int iterations = 0;

while (fitness != 0 || iterations < 50)

{            // Считаем до тех пор пока решение не будет найдено или к-во итераций более 50

GenerateLikelihoods();

CreateNewPopulation();

if (fitness = CreateFitnesses())

{

printf("iterations %d \n",iterations);

return fitness;

}

 

iterations++;

}

return -1;

}

Функция Main

Рассмотрим код главной функции:

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include "diophantine.h"

void main() {

CDiophantine dp(1,2,3,4,30);

int ans;

ans = dp.Solve();

if (ans == -1) {

cout << "Solution not found." << endl;

} else {

gene gn = dp.GetGene(ans);

cout << "The solution set to a+2b+3c+4d=30 is:\n";

cout << "a = " << gn.alleles[0] << "." << endl;

cout << "b = " << gn.alleles[1] << "." << endl;

cout << "c = " << gn.alleles[2] << "." << endl;

cout << "d = " << gn.alleles[3] << "." << endl;

} getch();

}

Заключение

Изложенный подход является эвристическим, т. е. показывает хорошие результаты на практике, но плохо поддается теоретическому исследованию и обоснованию. Естественно задать вопрос — следует ли пользоваться такими алгоритмами, не имеющими строгого математического обоснования? Как и в вопросе о нейронных сетях, здесь нельзя ответить однозначно. С одной стороны, в математике существует достаточно большой класс абсолютно надежных (в смысле гарантии получения точного решения) методов решения различных задач. С другой стороны, речь идет о действительно сложных практических задачах, в которых эти надежные методы часто неприменимы. Нередко эти задачи выглядят настолько необозримыми, что не предпринимается даже попыток их осмысленного решения. Например, фирма, занимающаяся транспортными перевозками, в современных условиях российского бизнеса скорее предпочтет нанять лишних водителей и повысить цены на свои услуги, чем оптимизировать маршруты и расписания поездок. На западном рынке, где уже давно действуют законы более или менее честной конкуренции, оптимальность деятельности компании значительно влияет на ее доходы и даже может стать решающим фактором для ее выживания. Поэтому любые идеи, позволяющие компании стать «умнее» своих конкурентов, находят там широкое применение. Генетические алгоритмы — реализация одной из наиболее популярных идей такого рода. Эта популярность вызвана, по-видимому, исключительной красотой подхода и его близостью к природному механизму. Подобным образом популярность нейросетевой технологии подогревается во многом ее сходством с работой мозга. По-настоящему активное развитие эвристических подходов, как мы видим, непосредственно связано с развитием свободного рынка и экономики в целом.

 

Список использованной литературы

1. Кантор И.А.(перевод) Введение в ГА и Генетическое Программирование -http://www. algolist.manual.ru

2. Скурихин А.Н. Генетические алгоритмы . Новости искусственного интеллекта - 1995, №4, с. 6-46.

3. Хэзфилд Р. , Кирби Л. Искусство программирования на C – К .:DIAsoft ,2001.

4. Поспелов Д.А. Информатика. Энциклопедический словарь для начинающих - М:Педагогика-Пресс, 1994, - 350 с.

5. Курс лекций по предмету "Основы проектирования систем с искусственным интеллектом" / Сост. Сотник С.Л. –URL:http://www.neuropower.de

6. Кузнецов О.П. О некомпьютерных подходах к моделированию интеллектуальных процессов мозга – Москва, Институт проблем управления РАН

7. Самоорганизующиеся нейронные сети и их применение – URL:http://www.chat.ru/~neurolab

8. Редько В.Г. Курс лекций "Эволюционная кибернетика" – URL:http://inet.keldysh.ru/BioCyber/Lectures.html

9. Головко В.А. Нейроинтеллект: Теория и применения Книга 1 Организация и обучение нейронных сетей с прямыми и обратными связями - Брест:БПИ, 1999, - 260 с.

10. Головко В.А. Нейроинтеллект: Теория и применения Книга 2 Самоорганизация, отказоустойчивость и применение нейронных сетей - Брест:БПИ, 1999, - 228 с.

11. А.Н. Генетические алгоритмы . Новости искусственного интеллекта - 1995, №4, с. 6-46.

12. С.А. Исаев Генетические алгоритмы - эволюционные методы поиска -URL: http://rv.ryazan.ru/~bug/library/ai/isaev/2/part1.html

13. Д.И. Батищев, С.А. Исаев Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов -URL:http://bspu.secna.ru/Docs/~saisa/ga/summer97.html

14. Group Method of Data Handling - URL: http://www.inf.kiev.ua/GMDH-home

15. Береснев В. Л., Гимади Э. Х., Дементьев В. Т. Экстремальные задачи стандартизации.- Новосибирск: Наука, 1978.

16. Гэри В., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.- М.: Мир, 1982.

17. Лима-ле-Фариа А. Эволюция без отбора: Автоэволюция формы и функции.- Москва, "Мир", 1991.

 

 

Приложение А

Текст main.cpp

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include "diophantine.h"

#define MAXPOP 25

void main() {

CDiophantine dp(1,2,3,4,30);

int ans;

ans = dp.Solve();

if (ans == -1) {

cout << "Solution not found." << endl;

} else {

gene gn = dp.GetGene(ans);

cout << "The solution set to a+2b+3c+4d=30 is:\n";

cout << "a = " << gn.alleles[0] << "." << endl;

cout << "b = " << gn.alleles[1] << "." << endl;

cout << "c = " << gn.alleles[2] << "." << endl;

cout << "d = " << gn.alleles[3] << "." << endl;

} getch();

}

 

Приложение Б

Текст Diophantine.h

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

#include<stdio.h>

//#define MAXPOP  25

struct gene

{

int alleles[4];

int fitness;

float likelihood;

// Тест на равенство

operator==(gene gn)

{

for (int i=0;i<4;i++)

{

if (gn.alleles[i] != alleles[i]) return false;

}

return true;

}

};

class CDiophantine

{

public:

CDiophantine(int, int, int, int, int);      // Конструктор с коэффициентами при а,b,c,d

int Solve();                                           // Вычисляет решение уравнения

gene GetGene(int i)

{ return population[i];}

protected:

int ca,cb,cc,cd;                                                         // Коэффициенты при а,b,c,d

int result;

gene population[MAXPOP];                         // Массив из генов - популяция

int Fitness(gene &);                                                 // Функция приспособленности

void GenerateLikelihoods();                          // Вычисляет вероятности воспроизведения

float MultInv();

int CreateFitnesses();

void CreateNewPopulation();

int GetIndex(float val);

gene Breed(int p1, int p2);

};

CDiophantine::CDiophantine(int a, int b, int c, int d, int res) : ca(a), cb(b), cc(c), cd(d), result(res) {}

int CDiophantine::Solve()

{

int fitness = -1;

// Создаем начальную популяцию

srand((unsigned)time(NULL));

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{                 // Аллели хромосом заполняем

// произвольными числами от 0 до result

for (int j=0;j<4;j++)

{

population[i].alleles[j] = rand() % (result + 1);

}

}

if (fitness = CreateFitnesses())

{

return fitness;

}

int iterations = 0;

while (fitness != 0 || iterations < 50)

{                     // Считаем до тех пор пока решение

// не будет найдено или к-во итераций более 50

GenerateLikelihoods();

CreateNewPopulation();

if (fitness = CreateFitnesses())

{

printf("iterations %d \n",iterations);

return fitness;

}

iterations++;

}

return -1;

}

int CDiophantine::Fitness(gene &gn) // Вычисляет коэффициет

// приспособленности для данного гена

{

int total = ca * gn.alleles[0] + cb * gn.alleles[1] + cc * gn.alleles[2] + cd * gn.alleles[3];

return gn.fitness = abs(total - result);

}

int CDiophantine::CreateFitnesses() // Возвращает номер гена в популяции ,

{                                // кот. явл. решением данного ур-я

float avgfit = 0;

int fitness = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

fitness = Fitness(population[i]);

//            avgfit += fitness;

if (fitness == 0)

{

return i;

}

}

return 0; //Возвращает 0 ,если среди генов данной

// популяции не нашлось решения

}

float CDiophantine::MultInv()

{

float sum = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

sum += 1/((float)population[i].fitness);

}

return sum;      //Сумма обратных коэффициентов

// приспособленности всех генов в популяции

}

void CDiophantine::GenerateLikelihoods()              //Генерирует вероятности воспроизведения

{

float multinv = MultInv();

float last = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

population[i].likelihood = last = last + ((1/((float)population[i].fitness) / multinv) * 100);

}

}

int CDiophantine::GetIndex(float val)           // По данному числу от 0 до 100 возвращает

{    // номер необходимого гена в популяции

float last = 0;

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

if (last <= val && val <= population[i].likelihood) return i;

else last = population[i].likelihood;

}

 

return 4;

}

gene CDiophantine::Breed(int p1, int p2)

{

int crossover = rand() % 3+1;              // Число от 1 до 3 - генерируем точку кроссовера.

int first = rand() % 100;                                 // Какой родитель будет первым ?

gene child = population[p1];                // Инициализировать ребенка первым родителем

int initial = 0, final = 4;

if (first < 50) initial = crossover;     // Если первый родитель р1(вероятность этого 50%) -

// начинаем с точки кроссовера

 

else final = crossover;                           // Иначе - заканчиваем на точке кроссовера

for(int i=initial;i<final;i++)

{                        // Кроссовер

child.alleles[i] = population[p2].alleles[i];

if (rand() % 101 < 5) child.alleles[i] = rand() % (result + 1);// 5% - мутация

}

return child;                                                   // Возвращаем ребенка

}

void CDiophantine::CreateNewPopulation() {

gene temppop[MAXPOP];

for(int i=0;i<MAXPOP;i++)

{

int parent1 = 0,parent2 = 0, iterations = 0;

while(parent1 == parent2 || population[parent1] == population[parent2])

{

parent1 = GetIndex((float)(rand() % 101));

parent2 = GetIndex((float)(rand() % 101));

if (++iterations > MAXPOP) break; // В этом случае

// родителей выбираем случайно

}

temppop[i] = Breed(parent1, parent2);         // Процесс размножения

}

for(i=0;i<MAXPOP;i++)

population[i] = temppop[i];

}