Описание тестовых задач

 

Исследуем влияние вектора начальных приближений на время счета, число итераций и сходимость метода.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.1, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

 

Результат выполнения программы: количество итераций=60, время счета=4с.

Начальное приближение x⁰=0.3, заданная точность edop=0.1, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

 

Результат выполнения программы: количество итераций=50, время счета=3,5с.

Начальное приближение x⁰=0.35, заданная точность edop=0.1, dt=0.1

нелинейный корень продолжение решение

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

 

Результат выполнения программы: количество итераций=22, время счета=2с.

Исследуем влияние заданной точности решения на время счета, число итераций и сходимость метода.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.05, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

 

Результат выполнения программы: количество итераций=119, время счета=1,5с.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.03, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

 

Результат выполнения программы: количество итераций=200, время счета=3с.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.01, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

 

Результат выполнения программы: количество итераций=600, время счета=5с.

Анализ результатов

 

Проанализировав приведенный выше графический и тестовый материал, описывающий решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом продолжения решения по параметру можно сделать соответствующие выводы:

1. Метод используется для расширения области сходимости метода Ньютона, отличается простотой, не требуют слишком сложных вычислений, что является существенным преимуществом.

2. При задании начального приближения, находящегося далеко от точного решения, метод расходится. Если значение начального приближения выбрано близко к точному решению, то метод сходится, и чем ближе вектор начального приближения к точному решению, тем за меньшее число итераций сходится рассматриваемый метод и тем меньше время счета.

3. Выбор ошибки итерации также влияет на число итераций и время счета. При уменьшении значения допустимой ошибки итерации число итераций увеличивается, что необходимо для получения более точного значения решения системы нелинейных уравнений, время счета также увеличивается.

Заключение

 

В работе были рассмотрены теоретические и практические характеристики метода продолжения решения по параметру. В ходе проведения тестирования и реализации метода была проведена справедливость теоретических выкладок. Наглядность результатов не оставляет сомнений в верности проведенного анализа.

Получены сведения о зависимости числа итераций, времени счета и сходимости метода от вектора начальных приближений и заданной точности решения.

Метод продолжения решения по параметру является эффективным и надежным для решения различных систем нелинейных алгебраических уравнений. Недостаток метода состоит в необходимости вычислять матрицу Якоби и решать систему нелинейных алгебраических уравнений на каждой итерации, что приводит к ограничению предельной сложности решаемых систем нелинейных алгебраических уравнений.

Используемая литература

 

1. Кузьмик П.К., Маничев В.Б. Автоматизация функционального проектирования: - М.: Высшая школа, 1986. - Кн.5. Системы автоматизированного проектирования / Под ред. Норенкова И.П.

2. Сарычева О.М. Численные методы: Конспект лекций / Новосиб. гос. техн. ун.-т. - Новосибирск, 1995.