Достижения в математике

Содержание

1. Биография Ферма                                                                    3

2. Достижения в математике                                                        4

3. Малая теорема Ферма                                                             6

4. История Великой теоремы Ферма                                          7

Биография Ферма

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец - Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать - Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, замучивший человечество своими загадками, один из четырех титанов математики нового времени.

Пьер провел детство с родителями, а учиться поехал в Тулузу - ближайший университетский город. Изучив право, Пьер Ферма успешно начал карьеру адвоката, но решил перейти на государственную службу. Пьер женился на кузине своей матери Луизе де Лонг, дочери советника парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. В 1631 г. актом от 14 мая Ферма зачисляется на должность советника кассационной палаты Тулузкого парламента.

В семье гениального математика родились три сына и две дочери. Один сын стал юристом, два других священниками, а обе дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век Ферма прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, не был наперсником французских королей, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Всю свою жизнь Ферма провел в Тулузе, в той же должности, и неожиданно скончался в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы. Жизнь его бедна внешними событиями, но следы, оставленные им в математике, таковы, что интерес к его личности не ослабевает.

Достижения в математике

Достижения Ферма относятся к разным разделам математики: к аналитической геометрии, теории чисел, анализу, вычислению интегралов и т.д. В теории чисел Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей произвольного числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырех квадратов. С именем Ферма связаны две замечательные теоремы - большая (иногда ее называют последней) и малая. Ферма и Р. Декарт - основоположники аналитической геометрии. Кроме того, Ферма раньше Декарта и более систематизировано ввел прямолинейные координаты, изложил метод координат и применил его к геометрии, выведя уравнения прямой и кривых второго порядка. В работе "Введение к теории плоских и пространственных мест", ставшей известной в 1636 г., Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степени преобразованием координат. Важное место в истории дифференциального и интегрального исчисления заняла работа Ферма "Метод отыскания наибольших и наименьших значений", опубликованная лишь в 1679 г. В ней Ферма фактически осуществил операцию, называемую теперь дифференцированием, и применил ее для нахождения не только максимумов и минимумов, но и касательных к кривым. Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней; распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Наследие Ферма неисчерпаемо по глубине содержания. Ферма своими работами способствовал развитию новых отраслей в математике: математического анализа, аналитической геометрии (одновременно с Декартом), теории вероятностей. Главным вкладом Ферма в алгебру явилась развитая им теория соединений или, как её ещё называют, комбинаторика. Отдельные задачи теории соединений были решены уже в древности греками и индийцами, но научная постановка этих вопросов возникла лишь в XVII веке в работах Ферма и его современника, знаменитого французского философа, математика и физика Блеза Паскаля. Исходя из основ комбинаторики, эти два учёных и положили начало новой математической науке, называемой теорией вероятностей, получившей в XVIII веке значительную теоретическую базу.

Ферма работал также над некоторыми вопросами физики, например, сформулировал так называемый принцип геометрической оптики, из которого выводятся законы отражения и преломления света (принцип Ферма).

Прижизненная известность Ферма основана на обильной переписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередного неуемного гения. На окончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века.

Малая теорема Ферма

Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого a ³ 1, которое не делится на p, разность  делится на p.

Например, пусть a=5, p=2, 3, 7, 11. Тогда 5^2-1-1=2×2, 5^3-1-1=3×8, 5^7-1-1=7×2232, 5^11-1-1=11×887784. Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., опубликовал сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять, насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть j(m) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Тогда для любого m и любого a ³ 1, взаимно простого с m, разность a^j(m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”.