Спектр сигнала на выходе многоэлементного анализатора изображений

Как отмечалось в § 7.1, анализ изображения часто осуществляется путем дискретной выборки оптического сигнала, описываемого распределением освещенности в изображении — функцией Е(х,у). Эту выборку можно производить с помощью растра с определенным чередованием прозрачных и непрозрачных участков или многоэлементного приемника излучения. Поскольку площадь прозрачного участка растра или одного элемента приемника конечна, то при дискретной выборке (дискретизация изображения) происходит сглаживание сигнала (размыв изображения) в пределах этого участка или элемента, т. е. свертка функции Е(х,у) с функцией g(x,у), описывающей распределение пропускания растра или чувствительности приемника. Таким образом, сигнал на выходе анализатора

Знак ** обозначает двумерную свертку.

Спектр этого сигнала по теореме о спектре свертки будет представлять собой произведение спектров функций Е(х,у) и g(x,у), т.е.

Для распространенного на практике случая, когда двумерная выборка изображения, описываемого функцией Е(х,у), осуществляется прямоугольной апертурой с размерами a´b, например, прямоугольной полностью прозрачной диафрагмой или приемником излучения с равномерной по прямоугольному фотослою чувствительностью, сигнал на выходе этой апертуры описывается выражением

причем

Если выборка осуществляется матрицей прямоугольных апертур с периодами Х и Y по осям х и у соответственно, то выходной сигнал

причем

Пользуясь теоремами о спектрах, можно найти пространственно-частотный (двумерный) спектр этого сигнала:

причем

Рассмотрим преобразования спектров в системе, где осуществляется выборка, для простейшего одномерного случая, когда выборка изображения Е(х) осуществляется линейкой прямоугольных апертур или приемников, имеющих размер а по оси выборки х.

На рис. 7.17 представлены сигналы и соответствующие им спектры. Спектр анализируемой функции Е(х) принят низкочастотным. Как отмечалось, спектр последовательности одинаковых импульсов с периодом Х состоит из отдельных гармоник, отстоящих друг от друга на величину w₁=2pf₁= 2p/X, а их огибающая повторяет огибающую спектра одиночного импульса. Таким образом, спектр сигнала, соответствующий выборке сигнала Е(х) последовательностью прямоугольных импульсов g(х)=rect (х/а) графически может быть представлен рис. 7.17, б. Операция выборки как бы размножает спектр Е(w_x) функции Е(х). Математическое описание этого процесса см. ниже в §9.1.

Рис. 7.17. Сигналы (а) и спектр выходного сигнала (б) в системе с многоэлементным анализатором

Если спектр Е(w_x) широк, т.е. максимальная (по теореме Котельникова) частота этого спектра w_max =2pf_max достаточно велика, то ширина боковых полос может превысить 2p/Х. При этом отдельные полосы спектра U_вых (w_x) будут перекрываться (явление наложения частот и возникновения побочных низкочастотных составляющих в спектре сигнала на выходе всей системы), и сигнал, восстанавливаемый из этого спектра, будет искажен. Из рис. 7.17, б легко увидеть, что условием отсутствия редукции является 2p/Х³2w_тах или w_N³w_тах , где w_N=p/X так называемая частота Найквиста. Поэтому обычно стремятся к тому, чтобы выбирать частоту Найквиста, определяемую периодом расположения апертур или площадок приемника X, больше максимальной частоты в спектре сканируемого или анализируемого изображения. Для исключения эффекта наложения иногда можно размыть изображение, чтобы оно занимало несколько элементов, т.е. как бы ввести низкочастотный фильтр.

Расстояние между элементами должно быть согласовано с разрешающей способностью объектива и характером изображения. Если это расстояние будет большим, то возможно нарушение условий, вытекающих из теоремы Котельникова, т.е. потеря информации об анализируемом изображении. С другой стороны, уменьшение этого расстояния ведет к усложнению технологии изготовления многоэлементного приемника, увеличению числа элементов, составляющих его, т.е. к удорожанию приемника-анализатора.

Следует отметить, что после дискретизации изображения (пространственной выборки) фильтрация сигнала в электронном тракте с целью подавления высоких частот не поможет восстановить потерянную в результате сглаживания и эффекта наложения информацию.

Для того, чтобы рабочие боковые полосы (спектры, расположенные около ±2p/X) не попали в область частоты среза w_xcp=2p/а, т.е. в область первого нуля спектра сигнала G(w_х), необходимо уменьшать значение коэффициента заполнения g=а/X, поскольку w_xcp=2p/а= =2p/gX. Если уменьшать g путем увеличения Х из-за возможного наложения частот и в соответствии с теоремой Котельникова нельзя, то остается один путь — уменьшение а. Однако это зачастую трудно осуществить технологически, а кроме того уменьшение а приводит к усложнению требований к качеству оптической системы, которая должна собрать достаточное количество энергии на малую площадку приемника. Поэтому в каждом конкретном случае для конкретного спектра Е(w_x) нужен тщательный выбор Х и а, связанных с w_max, w_N , w_{x cp}.

Глава 8. СКАНИРОВАНИЕ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ