КАЖДОЕ НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ РАЗНОСТЬ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ.

        

 

Составлять такие строки (лучше говорить «последовательности») – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад.

    Проверьте что если x - нечетное число, то y=  и z= . Проверьте также, что в этом случае равенство  выполняется, т.е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

    Если x=3, то y= =4, z= =5, получилась первая пифагорова тройка;

 

    Если x=5, то y=        =12, z=   =13, вторая пифагорова тройка;

 

    Если x=7, то y= =24, z=   =25, третья тройка;

Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда y=40 и z=41.

Проверим наша вычисления:

                           

Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сделаем этот шаг и мы.

Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

                                          ;

                                     .

 

Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получится система:

 

                                

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:

              z = =  ; y=         ; x=2ab

(при этом надо иметь в виду, что a>b).

        

Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу.

Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников.

 

а      в	2	3	4	5	6
1     2     3     4	3, 4, 5	6, 8, 10 5, 12, 13	8, 15, 17 12, 16, 20 7, 24, 25	10, 24, 26 20, 21, 29	12, 35, 37 24, 32, 40 27, 36, 45

 

 

1.Старинная задача.

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, у стены же тоя высота есть 117 стоп. И ведати хощет  Колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

Решение:

125²=117²+х²

Х²=125²-117²

                                                                                                                Х²=(125-117)(125+117)

                                                                                                                                       Х²=8*242

117             125                                                                                                 Х²=4*4*121

X = 2*2*11

                ?                                                                           X = 44(стопы) – нижний конец  

       Х                                                                                   лестницы отстоит от стены

 

Задача индусов

Над озером тихим,

С полфута размером высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Решение:

                      2

    (Х + ½)^2 – X^2 = 2^2

X^2 + X + ¼ - X^2 = 4

               х               х+1/2                                       X = 3 ¾ (футов) –

глубина озера

 

                                        

 

Первая тайна заключается в таком множестве названий: «теорема бабочки», «т. невесты», «т. нимфы», « т. 100 быков», «бегство убогих», «мост ослов», «ветряная мельница». Думаю, что не найти другой теоремы, которая имела бы столько всевозможных названий!

 

Вторая тайна – точно неустановленное количество доказательств знаменитой теоремы Пифагора Самосского. Именно по этому поводу я решила провести социологический опрос, который показал, что большинство людей старшего поколения согласны с существованием 250 доказательств, хотя мне из дополнительных источников известно, что существует более 350 доказательств этой теоремы, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса! Но, конечно же, принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного.

Третья тайна – это то, что теорема Пифагора является сегодня символом математики.

 Четвёртая тайна – теорема Пифагора представляет нам богатейший материал для обобщения – важнейшего вида мыслительной деятельности, основы теоретического мышления, которым в совершенстве владеют многие учёные. Здесь можно добавить, что от теоремы Пифагора можно перейти к другим теоремам.

Пятая тайна заключается в том, что некоторые исследователи приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл (математик V в.) утверждал, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду. Но всё-таки сегодня способ доказательства Пифагора остаётся неизвестным.

 

Шестая тайна – легенды о самом Пифагоре, человеке, который первым доказал эту теорему. Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий.

 

 

 

 

Теорема Пифагора действительно занимает важное место в математике, с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество не только математических задач.  Прошло уже много лет с того момента, когда эта теорема была впервые открыта и доказана, но она до сих пор продолжает привлекать внимание многих исследователей, учёных, учеников…

 

 

Литература

1. Л. Ф. Пичурин « За страницами учебника алгебры

2. А. И. Кострикин «Введение в алгебру»

3. П.С. Александров «Курс линейной алгебры»

4. В. К. Смышляев «О математике и математиках»

5. А.В. Волошин «Пифагор»

6. В. Литурман «Теорема Пифагора»

7. А.Свешникова «Путешествие в историю математики»