ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид , (2.1.1) (2.1.2) где мерный вектор параметров состояний; мерный вектор управляющих воздействий; мерный вектор возмущающих воздействий; l- мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности ; В – матрица управлений размерности ; Г – матрица возмущений размерности ; С – матрица выходов размерности l n; D – матрица компенсаций (обходов) размерности l m. Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид: , (2.1.3) где - экспоненциал матрицы А. Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход». Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 2.2.1 Определить переходные процессы в системе (2.2.1) , (2.2.2) под действием ступенчатых воздействий по каналам управления и возмущения . Решение В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме . (2.2.3) Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0=0, представим выражение (2.2.3) в виде . (2.2.4) Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения , то есть и . Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен . (2.2.5) Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем
= . Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид: . УСТОЙЧИВОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением ( ), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения (3.1.1) Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λj=λj(A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reλj . Если Reλj<0, то система асимптотически устойчива. Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде nn-1nn0. (3.1.2) Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).
.
Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица Δn=αnΔn-1 (3.1.3)
при Δn-1>0 сводится к положительности свободного члена αn характеристического уравнения.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 3.2.1 Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями , (3.2.1) . (3.2.2)
Решение. Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1) , (3.2.3) решение которого дает следующие корни: . Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные. Задача 3.2.2 Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями , , (3.2.4) . (3.2.5)
Решение. Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1) . (3.2.6) Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение: . (3.2.7) Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица . (3.2.8) Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3 равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi>0 (i=1,2,3) , . В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный. Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой. УПРАВЛЯЕМОСТЬ
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (251)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |